【prufer序】树-dp-组合数学

今天本蒟蒻学了这么多东西，当然要写几篇水博文。

题意：

有n个点，第i个点的限制为度数不能超过ai。现在对于每一个s(1≤s≤n)(1≤s≤n)，问从这n个点中选出s个点组成有标号无根树的方案数mod1004535809

(n<=100)

 

题解：

先贴几篇博文：

当然要先看看morejarphone大佬的prufer讲解（贼好懂）：点击打开链接

还有这篇棒棒的博文：点击打开链接

关于这篇博文里一个地方，我有说明一下的必要：

 

2）一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有   (n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]  个，因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。

即 n种元素，共n-2个，其中第i种元素有Di-1个，求排列数。

搜了一下，发现网上并没有对于这句话的解释，也可能是本蒟蒻太菜了，对组合数学一无所知，所以不能理解这个有趣的推广。

仔细想了后得出：

不考虑每个节点具体要求时填满n-2个位置是(n-2)!，设第i个树度数为Di,那么其中有Di-1个数均为i,而在最初的这任意Di-1位上，是任意取值的，所以有（Di-1）！种取法，现在变为了一种，所以此时总排列数是(n-2)!/（Di-1)!,以此类推，得出上式：

于是当序列中共有s个元素时,第i个数出现次数位Ci,得出下式：

S!/(Ci!*Ci+1!*...*Cn!)

但我们的输出是对于s=1 to n的，所以不能直接算，那么自然而然想到了dp。

设dp[i][j][k]表示前i个数，选择了j个数，序列中有k个元素时的种类。

但这道题妙的是求有标号无根树，所以还要在dp[n][s][s-2]基础上乘以s!

代码如下：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=1004535809; 
typedef long long ll;
ll dp[105][105][105];
ll g[105],h[105];
int a[105],n;
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}

inline int min(int a,int b){
	return a>b? b:a;
}

inline ll fp(ll a,ll b)
{
	ll ret=1;
	while(b){
	  if(b&1) ret=ret*a%mod;
	  a=a*a%mod;
	  b>>=1; 
	} 
	return ret;
}

int main(){
	n=read();g[0]=1;dp[0][0][0]=1;h[0]=1;
	for(int i=1;i<=(int)n;i++) {
		a[i]=read();g[i]=(g[i-1]*i)%mod;
	}
	h[n]=fp(g[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=1;i--) h[i]=h[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=0;i