【BZOJ】5219: [Lydsy2017省队十连测]最长路径 组合计数&竞赛图性质

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题解

竞赛图性质：

• 必然存在一条哈密尔顿路径
• 缩点之后按拓扑序形成一条“链”

由竞赛图性质得到从点1出发的最长路径上点数等于1所在$scc$点数+拓扑序在1(链中靠后)的$scc$的点的总数。

$f[n]$表示有$n$个节点的竞赛图的个数，显然：$f[n]=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$。

$g[n]$表示有$n$个节点的竞赛图强连通分量，考虑枚举拓扑序最小的$scc$进行容斥：
$g[n]=f[n]-\sum _{i=1}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)g[i]f[n-i]$

初始$f[0]=1,g[1]=1$，其余递推得到。

$ans[n]$表示则点1出发最长路径为$n$的方案数。枚举1所在$scc$点数以及链中靠后的总点数：

$ans[n]={\sum }_{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j}\right)g[i]f[j]f[n-i-j]$

组合数线性递推预处理即可。

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代码

#include
#define RI register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2020;

int n,mod,c[N][N];
int f[N],g[N],ans[N];

inline int ad(int x,int y){x+=y;return x>=mod?x-mod:x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int dc(int x,int y){x-=y;return x<0?x+mod:x;}

inline int fp(int x,int y)
{
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))
	 if(y&1) re=mul(re,x);
	return re;
}

int main(){
    RI int i,j,res;
    scanf("%d%d",&n,&mod);
	f[0]=g[1]=1;
	for(i=0;i<=n;++i){
		c[i][0]=c[i][i]=1;
		for(j=1;j<i;++j)
		 c[i][j]=ad(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
	}
    for(i=1;i<=n;++i) f[i]=fp(2,i*(i-1)/2);
	for(i=2;i<=n;++i){
		res=0;
		for(j=1;j<i;++j)
			res=ad(res,mul(c[i][j],mul(g[j],f[i-j])));
        g[i]=dc(f[i],res);
	}
	for(i=1;i<=n;++i){
		for(j=n-i;~j;--j) 
		 ans[i+j]=ad(ans[i+j],(ll)c[n-1][i-1]*c[n-i][j]%mod*(ll)f[j]%mod*(ll)g[i]%mod*(ll)f[n-i-j]%mod);
	}
	for(i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}