斐波那契循环节的一种求法

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题意

f ( f ( n ) ) m o d    p , n ≤ 1 0 100 f(f(n))\mod p,n\leq 10^{100} f(f(n))modp,n10100


循环节问题

g ( n ) g(n) g(n)表示 m o d    n \mod n modn意义下斐波那契数列的循环节长度。

设模数 n = ∏ i = 1 m p i k i n=\prod\limits_{i=1}^mp_i^{k_i} n=i=1mpiki,则:
g ( n ) = l c m ( g ( p 1 k 1 ) , g ( p 2 k 2 ) , . . . , g ( p m k m ) ) g(n)=lcm(g(p_1^{k_1}),g(p_2^{k_2}),...,g(p_m^{k_m})) g(n)=lcm(g(p1k1),g(p2k2),...,g(pmkm))

g ( p k ) = g ( p ) ∗ p k − 1 g(p^k)=g(p)*p^{k-1} g(pk)=g(p)pk1
( g g g均指最小循环节长度)

对于 g ( p ) g(p) g(p)又有以下定理:

如果5是模 p p p的二次剩余那么循环节的长度是 p − 1 p−1 p1的因子否则长度为 2 ( p + 1 ) 2(p+1) 2(p+1)
对于小于等于5的素数特殊判断, g ( 2 ) = 3 , g ( 3 ) = 8 , g ( 5 ) = 20 g(2)=3,g(3)=8,g(5)=20 g(2)=3,g(3)=8,g(5)=20

(证明先咕了)
所以算出两个二次剩余之后矩乘即可。


代码

代码也咕了。

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