【BZOJ】3028: 食物-生成函数&莱布尼茨公式

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题解

Step 1

构造生成函数：
$A(x)=\frac{1}{1-x^2}$
$B(x)=1+x$
$C(x)=1+x+x^2$
$D(x)=\frac{x}{1-x^2}$
$E(x)=\frac{1}{1-x^4}$
$F(x)=1+x+x^2+x^3$
$G(x)=1+x$
$H(x)=\frac{1}{1-x^3}$

全部卷积起来就是：$\frac{x}{(1-x{)}^4}$

Step 2

$f(x)=\frac{x}{(1-x{)}^4}$
花式求解$[x^n]$：

泰勒展开

$[x^n]=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

引入莱布尼茨公式：
$(f\ast g{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f^{(i)}{g}^{(n-i)}$
证明略。

$f(x)=x,g(x)=(1-x{)}^{-4}$

由于$f^i=0(i̸=1)$，所以只需要求$g^{(n-1)}(0)$即$\frac{(n+2)!}{6}$

$ans=n\frac{(n+2)!}{n!6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

广义二项式定理

$(x+y{)}^a=\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i})x^i{y}^{a-i}$

其中$a<0$设$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i}\right)=\frac{\prod _{k=0}^{i-1}(a-k)}{i!}$

广义二项式展开$(1-x{)}^{-4}=\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-4}{i})(-x{)}^i$

$[x^n]=(-1{)}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-4}{n-1})=\frac{\prod _{i=0}^{n-2}(4+i)}{(n-1)!}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

组合意义

$\frac{1}{1-x}=\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i$
表示选任意个的生成函数。

$\frac{1}{(1-x{)}^4}$即为选四个自然数和为特定值的方案数。

插板法$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1+3}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$