什么是逻辑回归?
Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处,最大的区别就在于它们的因变量不同,其他的基本都差不多。正是因为如此,这两种回归可以归于同一个家族,即广义线性模型(generalizedlinear model)。
这一家族中的模型形式基本上都差不多,不同的就是因变量不同。
Logistic回归的因变量可以是二分类的,也可以是多分类的,但是二分类的更为常用,也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。
Logistic回归的主要用途:
Logistic回归主要在流行病学中应用较多,比较常用的情形是探索某疾病的危险因素,根据危险因素预测某疾病发生的概率,等等。例如,想探讨胃癌发生的危险因素,可以选择两组人群,一组是胃癌组,一组是非胃癌组,两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌,即“是”或“否”,自变量就可以包括很多了,例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的,也可以是分类的。
常规步骤
Regression问题的常规步骤为:
构造预测函数h
Logistic回归虽然名字里带“回归”,但是它实际上是一种分类方法,主要用于两分类问题(即输出只有两种,分别代表两个类别),所以利用了Logistic函数(或称为Sigmoid函数),函数形式为:
Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形,如下图所示(引自维基百科):
下面左图是一个线性的决策边界,右图是非线性的决策边界。
对于线性边界的情况,边界形式如下:
构造预测函数为:
函数的值有特殊的含义,它表示结果取1的概率,因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为:
构造损失函数J
Cost函数和J函数如下,它们是基于最大似然估计推导得到的。
下面详细说明推导的过程:
(1)式综合起来可以写成:
取似然函数为:
对数似然函数为:
最大似然估计就是求使取最大值时的θ,其实这里可以使用梯度上升法求解,求得的θ就是要求的最佳参数。但是,在Andrew Ng的课程中将取为下式,即:
因为乘了一个负的系数-1/m,所以取最小值时的θ为要求的最佳参数。
梯度下降法求的最小值
θ更新过程:
θ更新过程可以写成:
向量化Vectorization
Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环,以简化计算过程,提高效率。
如上式,Σ(...)是一个求和的过程,显然需要一个for语句循环m次,所以根本没有完全的实现vectorization。
下面介绍向量化的过程:
约定训练数据的矩阵形式如下,x的每一行为一条训练样本,而每一列为不同的特称取值:
g(A)的参数A为一列向量,所以实现g函数时要支持列向量作为参数,并返回列向量。由上式可知可由一次计算求得。
θ更新过程可以改为:
综上所述,Vectorization后θ更新的步骤如下:
(2)求;
正则化Regularization
过拟合问题
对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型,可能会有些权重很大,有些权重很小,导致过拟合(就是过分拟合了训练数据),使得模型的复杂度提高,泛化能力较差(对未知数据的预测能力)。
下面左图即为欠拟合,中图为合适的拟合,右图为过拟合。
问题的主因
过拟合问题往往源自过多的特征。
解决方法
1)减少特征数量(减少特征会失去一些信息,即使特征选的很好)
2)正则化(特征较多时比较有效)
正则化方法
正则化是结构风险最小化策略的实现,是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数,模型越复杂,正则化项就越大。
从房价预测问题开始,这次采用的是多项式回归。左图是适当拟合,右图是过拟合。
直观来看,如果我们想解决这个例子中的过拟合问题,最好能将的影响消除,也就是让。假设我们对进行惩罚,并且令其很小,一个简单的办法就是给原有的Cost函数加上两个略大惩罚项,例如:
这样在最小化Cost函数的时候,。
正则项可以取不同的形式,在回归问题中取平方损失,就是参数的L2范数,也可以取L1范数。取平方损失时,模型的损失函数变为:
lambda是正则项系数:
正则化后的梯度下降算法θ的更新变为:
正则化后的线性回归的Normal Equation的公式为:
其他优化算法
后二者由拟牛顿法引申出来,与梯度下降算法相比,这些算法的优点是:
但是缺点是更复杂。
多类分类问题
对于多类分类问题,可以将其看做成二类分类问题:保留其中的一类,剩下的作为另一类。
对于每一个类 i 训练一个逻辑回归模型的分类器,并且预测y = i时的概率;对于一个新的输入变量x, 分别对每一个类进行预测,取概率最大的那个类作为分类结果: