图的最短路径之迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法

一、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

1、定义描述

  Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径：

2、算法思想

  设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

3、算法步骤

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。
• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[ s ][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。
• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

4、算法图解

二、弗洛伊德（Floyd）算法

1、定义描述

  Floyd算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd算法的时间复杂度为O(N^3)。

  上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。

2、算法思想

  Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释。
  从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

3、算法步骤

• 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

• 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

三、Dijkstra算法和Floyd算法的demo：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int inf = 999999;//不连通的点之间的距离设为无穷大
long long int e[10000][10000];
int dis[10000];//最短距离数组
int book[10000];//记录下哪些点被选中

//计算单点到全部顶点的距离
int Dijkstra(int &n, int &m, int &s, vector<vector<int>> &data, int &t)
{
	//初始化任意两点之间的距离数组
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (i == j)
				e[i][j] = 0;
			else
				e[i][j] = inf;
		}
	}
	//把权值加入到任意两点之间的距离数组中
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		e[data[i - 1][0]][data[i - 1][1]] = data[i - 1][2];
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (i != s)
		{
			dis[i] = e[s][i];//记录源点到其余所有点的最短路径
			book[i] = 0;//记录哪些点被选取了
		}
	}
	int u, min;
	for (int i = 1; i <= n - 1; ++i)
	{
		min = inf;
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (book[j] == 0 && dis[j] < min)//找到源点离还没有被选取的点中的最近顶点
			{
				min = dis[j];
				u = j;//记录下最近顶点的位置
			}
		}
		book[u] = 1;
		/*
		*例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从源点到v的路径，
		*这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，
		*我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
		*/
		for (int v = 1; v <= n; ++v)
		{
			if (e[u][v] < inf)
			{
				if (dis[v] > dis[u] + e[u][v])
					dis[v] = dis[u] + e[u][v];//松弛
			}
		}
	}
	return dis[t];
}

//计算两两顶点之间的最短路径
void Floyd(int &n, int &m, vector<vector<int>> &data)
{
	//初始化任意两点之间的距离数组
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (i == j)
				e[i][j] = 0;
			else
				e[i][j] = inf;
		}
	}
	//把权值加入到任意两点之间的距离数组中
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		e[data[i - 1][0]][data[i - 1][1]] = data[i - 1][2];
	}
	/*
	*最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点
	*进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
	*/
	for (int k = 1; k <= n; ++k)
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
				if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j])
					e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			cout << e[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n, m, s, t;
	cin >> n >> m >> s >> t;//输入顶点数和边数，以及起止位置
	vector<vector<int>> Path_Cost;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		vector<int> vec;
		int x;
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			cin >> x;
			vec.push_back(x);
		}
		Path_Cost.push_back(vec);
	}
	cout << Dijkstra(n, m, s, Path_Cost, t) << endl;
	Floyd(n, m, Path_Cost);
	system("pause");
	return 0;
}

参考：http://blog.51cto.com/ahalei/1383613
https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html