卡尔曼滤波的理解以及推导过程

针对的系统为：

状态方程       X(k)=AX(k-1)+Bu(k-1)+W(k-1)

测量方程       Z(k)=HX(k)+V(k)                         0

W是状态预测的噪声 符合正态分布N(0,Q)

V 是测量的噪声     符合正态分布N(0,R)

理解：

一般测量值Z(k)为外界提供，大概是采用一种不同的方式去获取同一个目标值（值不一定相等），用来矫正预测的。于是我们得到了三个值，测量值Z(k),上一次综合预测值和测量值得到的最优值X(k-1|k-1)，对上一次最优值通过状态方程预测的下一个结果

X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+Bu(k)。卡尔曼的滤波的目的是综合测量值和预测值得到一个最优值，这里采用的是分配权重的方式来综合结果X(k|k)=X(k|k-1)+K(k)(Z(k)-HX(k|k-1))。到此已经得到了最优的解，但是权重怎么计算？这里的权重K就是卡尔曼增益（Kalman gain）。K的确定是通过求使得估计值X(k|k)与真实值Xk的均方误差最小的K。得到K之后自然就是想办法使得卡尔曼滤波可以无限迭代下去，这好像是卡尔曼最牛逼的地方。

推导过程：

要看懂推导过程需要一些矩阵的计算知识以及统计学知识。

预测方程

综合预测值和测量值的最优解

要求使得估计值与预测值的均方差最小，自然要先求均方差，这里是求协方差矩阵，协方差矩阵的对角线就是方差，只要求出了协方差矩阵就可以求该矩阵的痕迹即tr(矩阵的迹便是对角线上的元素累加起来)，再对迹求导，使得求导后等于0，解方程即可得到K。

估计值X(k|k)和真实值X(k)之间的协方差矩阵

 

 

预测值X(k|k-1)和真实值X(k)之间的协方差矩阵(别问为什么要求这个，这个是迭代的需要，具体我也不知道，接下来会用到)

 

 

 

将0式带入2式，再将计算结果带入3式可以得到

 

 

 

将5展开后将4式带入可以得到

 

 

 

求6式的迹可以得到

 

 

 

对7式求K(k)的偏导，并使之等于0可得到

 

 

对8式移项可得

      

将9式带入Pk可以得到

     

到此还差P(k|k-1)未知

将4式展开计算即可以得到

至此全部计算完毕。

标记黄色的即为卡尔曼的核心五条公式

使用：

使用步骤：

预测公式：

 

 

更新公式：

 

 

参考连接：

卡尔曼推导过程 http://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/17487467