HDU 5833 Zhu and 772002 高斯消元

原题见HDU 5833

在 n 个数中选择几个数 ai 相乘得到平方数，问有多少种取法。最大的素因子不超过2000，最后答案mod 1000000007。
(1≤n≤300,1≤ai≤1018)

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分析

所有数的因子不超过2000，则可以打表得到所有可能的因子共pn个。并得到每个因子属于第几个。
对每个数整数分解，可以得到由因子的指数形成的pn维向量。如
4->(2,0,0,…)
90->(1,2,1,…)
省略部分为0.

题意等价于选取一些向量，使得向量和的每个分量都是偶数。
其实分量只要看奇偶，即模2为1或0.因此每个向量的分量只要标明是1或0，而不必看是否是大于1的数。
4->(0,0,0,…)
90->(1,0,1,0,0,…)

若选取第i个向量，则令 xi=1 ，否则为0.

现在把每个向量竖着写，形成一个pn*n的矩阵A，令 X=(x1,x2,...xn)−1 ，最后的结果为 β=(0,0,...,0)−1 。题意即等价于求方程 AX=β 的解 X 的个数。
这个过程由高斯消元搞定。

由线性代数的性质可知，只要求A的秩r，即可得自由元有n-r个，且每个元的解集为 {0,1} ，故共有 2n−r 个解。其中必有解 (0,0,0,...,0) 但因为这个解表示并不取任何数，故要舍去。最后要求的是 (2n−r−1)%1000000007

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代码

#include 
using namespace std;
#define N 2000
#define LL long long
int num[N], prim[N], pn = 0, a[N][N], mod=1000000007;
void table() {
    memset(num, -1, sizeof(num));
    for(int i = 2;i < N;i++) {
        if(num[i]) prim[pn++] = i;
        for(int j = 0;j < pn && 1LL*prim[j]*i < N;j++) {
            int t = prim[j] * i;
            num[t] = 0;
            if(i % prim[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
int n, m;
int gauss()//根据伪代码这个很好理解
{
    int i, j, k, id;
    for(i = 0, j = 0; i < m,j < n;)    {
        id = i;
        for(k = i+1; k < m; k++)
            if(abs(a[k][j]) > abs(a[id][j]))
                id = k;
        if(id != i) {
            for(k = j; k < n; k++)
                swap(a[i][k],a[id][k]);
        }//使a[id][k](i<=k<=n)是最 大的,并把这行移到第i行
        if(a[i][j] == 0) { j++; continue; }//最大的a[id][k]=0
        for(k = i+1; k < m; k++)//线性变换化0
        {
            if(a[k][j] == 0) continue;
            for(int l = j; l < n; l++)
                a[k][l] = a[k][l] ^ a[i][l];
        }
        i++,j++;
    }
    for(int k = i; k < m; k++) if(a[k][n] != 0) {
           return -1;//根据前面说的，无解
       }
    return n-i;
}
LL powo(LL a, int k) {
    if(k == 0) return 1;
    if(k == 1) return a;
    LL tmp = powo(a, k/2);
    tmp = tmp * tmp % mod;
    if(k & 1) tmp *= a;
    return tmp % mod;
}
void solve() {
    int x = gauss();
    LL ans = powo(2, x) - 1;
    ans = (ans % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    int T, o = 0;
    table();
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        m = 0;
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            LL t;
            scanf("%lld", &t);
            for(int j = 0;j < pn && prim[j] <= t;j++) {
                while(t % prim[j] == 0) {
                    t /= prim[j];
                    a[j][i]++;
                }
                a[j][i] &= 1;
                if(a[j][i])
                    m = max(m, j+1);
            }
        }
        printf("Case #%d:\n", ++o);
        solve();
    }
    return 0;
}