Gauss滤波的快速实现方法

二维高斯函数具有旋转对称性，处理后不会对哪一个方向上的边缘进行了过多的滤波，因此相对其他滤波器，具有无法比拟的优越性。但是传统Gauss滤波随着图像尺寸的增加，运算复杂度呈平方上涨，因此需要对其优化改进。下面，分别介绍传统型，分解型和递归迭代型三种实现方法。

　　

1 传统型

　　Gauss滤波首先需要构建一个Gauss滤波核，公式为：

Matlab实现代码：

dSigma =0.8;
fK1=1.0/(2*dSigma*dSigma);
fK2=fK1/pi;
iSize = 5;
step = floor(iSize/2 + 0.5);
for i = 1 : iSize
    x=i-step;
    fTemp=fK2*exp(-x*x*fK1);
    for j = 1 : iSize
        y=j-step;
        model(x+step,y+step)=fTemp*exp(-y*y*fK1);
    end
end
dSum = sum(sum(model));
model = model/dSum;						%Gauss核数值归一化

　　

图1 Gauss滤波核（5*5大小）

　　接下来就是将输入图像和滤波核进行卷积操作。其实质就是对原始图像进行加权求和，把这个“和”赋给中心像素。对于一个2048*2048的图像，需要进行104734756次乘法运算，和104734756次加法运算，运算复杂度是很高的。

2 分解型

　　

　　我们可以把一个二维Gauss核分解为两个一维高斯核，然后先对行做一次一维卷积，再对这个卷积结果做一次一维列卷积，得到的结果完全一模一样，而开销会小很多。

一维高斯核函数:

　　Matlab代码实现：

dSigma =0.8;
fK1=1.0/(2*dSigma*dSigma);
fK2=fK1/pi;
iSize = 5;
step = floor(iSize/2 + 0.5);
for i = 1 : iSize
    x=i-step;
    fTemp=fK2*exp(-x*x*fK1);
    model(1,x+step) = fTemp;
end
dM = sum(model);
model = model / dM;

　　

图2 一维高斯滤波核（1*5大小）

　　一维卷积原理和二维卷积一样，只不过我们只需要将同一行或同一列上的数据，按位置一一加权求和，再把“和”赋给中心元素。

　　对于一个2048*2048的图像，需要进行41918464次乘法运算，和41918464次加法运算。相比传统运算量，只是前者的1/2.4985。如果遇到频繁计算Gauss滤波的算法，后者明显比前者速度快很多。

3 递归迭代型

　　第二种方法较第一种方法，虽然有了较大改善，但是任然复杂度较高。这里再介绍一种更快速的逼近Gauss滤波方法。

     具体步骤分为两步：首先对图像做一次前向滤波，其次，对图像再做一次后向滤波。

　　Forward：

　　Backward:

参考资料：Recursive implementation of the Gaussian filter。 Ian T. Young,1995