离散时间滤波器推导

假设有一个线性时不变系统，它在输入值上连续取两点的平均值

y[n]=12(x[n]+x[n−1])

根据对 z 局限在 z=ejω 形式的函数 H(z) 的表达式

H(ejω)=∑n=−∞+∞h[n]e−jωn

注意：满足上述条件的 H(ejω) 也被称为频率响应函数，其中 h[n] 是线性时不变系统当输入为单位脉冲 δ[n] 时的输出。那么，该线性时不变系统的响应是：

H(ejω)=∑n=−∞+∞12(δ[n]+δ[n−1])e−jωn=12∑n=−∞+∞δ[n]e−jωn+12∑n=−∞+∞δ[n−1]e−jωn=12e−jω⋅0+12e−jω⋅1=12+12e−jω=12(1+e−jω)=e−jω/2cos(ω/2)

求解了该线性时不变系统的响应后，观察其模与相位，模为 cos(ω/2) ，相位为 −12ω ，对应的函数图像如下图所示：

由于离散时间复指数的低频域发生在 ω=0,±2π,±4π,… 附近，而高频域发生在 ω=π,±3π,… 附近，又因为 ej(ω+2π)=ejωn ，所以在离散时间情况下仅仅需要考虑 ω 的某一个 2π 区间，以覆盖全部离散时间频率范围。这样，任何离散时间频率响应 H(ejω) 一定是周期的，且周期为 2π 。

参考资料：奥本海姆《信号与系统》，第二版