hdu 6158（数学定理）

The Designer 笛卡尔定理递推

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6158

阳哥原文：https://swustacm.cn/?p=426

一个大圆 $O_{1}$ 和三个小圆 $O_{2} 、 O_{3} 、 O_{4}$ 内切，三个小圆相互外切，他们的半径满足如下等式：
$(\frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}} - \frac{1}{r_{1}})^{2} = 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}} + \frac{1}{r_{4}^{2}})$

计算有标号圆的面积。
设大圆半径为 $r_{a}$ ，左边的圆半径为 $r_{b}$ 。则 $r_{1} = r_{a} - r_{b}$
只看上半部分的圆，对圆重新编号为1、2、3、……
$r_{1} = r_{a} - r_{b}$
设第 $k$ 个圆的半径为 $r_{k}$ ，根据笛卡尔定理有如下等式
$(\frac{1}{r_{k}} + \frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}})^{2} = 2 (\frac{1}{r_{k}^{2}} + \frac{1}{r_{k + 1}^{2}} + \frac{1}{r_{b}^{2}} + \frac{1}{r_{a}^{2}})$
同时也有
$(\frac{1}{r_{k}} + \frac{1}{r_{k - 1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}})^{2} = 2 (\frac{1}{r_{k}^{2}} + \frac{1}{r_{k - 1}^{2}} + \frac{1}{r_{b}^{2}} + \frac{1}{r_{a}^{2}})$
上下两式相减，得到
$(\frac{1}{r_{k + 1}} - \frac{1}{r_{k - 1}}) (\frac{2}{r_{k}} + \frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{k - 1}} + \frac{2}{r_{b}} - \frac{2}{r_{a}}) = 2 (\frac{1}{r_{k + 1}^{2}} - \frac{1}{r_{k - 1}^{2}})$
将右边展开，得到
$(\frac{1}{r_{k + 1}} - \frac{1}{r_{k - 1}}) (\frac{2}{r_{k}} + \frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{k - 1}} + \frac{2}{r_{b}} - \frac{2}{r_{a}}) = 2 (\frac{1}{r_{k + 1}} - \frac{1}{r_{k - 1}}) (\frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{k - 1}})$
两边同时消去 $(\frac{1}{r_{k + 1}} - \frac{1}{r_{k - 1}})$ ，得到
$\frac{2}{r_{k}} + \frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{k - 1}} + \frac{2}{r_{b}} - \frac{2}{r_{a}} = \frac{2}{r_{k + 1}} + \frac{2}{r_{k - 1}}$
合并同类项，得到
$\frac{2}{r_{k}} + \frac{2}{r_{b}} - \frac{2}{r_{a}} = \frac{1}{r_{k + 1}} + \frac{1}{r_{k - 1}}$
移项得到
$\frac{1}{r_{k + 1}} = \frac{2}{r_{k}} + \frac{2}{r_{b}} - \frac{2}{r_{a}} - \frac{1}{r_{k - 1}}$
这是一个关于 $r_{k}$ 的递推式，知道前两项就能递推出后一项。
但是现在只知道 $r_{1} 、 r_{a} 、 r_{b}$ ，还不知道 $r_{2}$ ，无法进行递推。
根据笛卡尔定理有
$(\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}})^{2} = 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{b}^{2}} + \frac{1}{r_{a}^{2}})$
将其左右展开有
$\frac{1}{r_{2}^{2}} + 2 \times \frac{1}{r_{2}} (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}}) = 2 \times \frac{1}{r_{2}^{2}} + 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{b}^{2}} + \frac{1}{r_{a}^{2}})$
移项合并同类型，得到如下
$\frac{1}{r_{2}^{2}} - 2 (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}}) \frac{1}{r_{2}} + 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{b}^{2}} + \frac{1}{r_{a}^{2}}) = 0$
将 $\frac{1}{r_{2}}$ 看作未知量，根据实际情况，方程的两个根应该相同，所以根据韦达定理有
$\frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{2}} = 2 (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}})$
则
$\frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{a}}$
已经求得 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，可以递推了。

代码：

#include
using namespace std;
const double esp=1e-13;
const double PI=acos(-1.0);
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int ra,rb,n;
        scanf("%d%d%d",&ra,&rb,&n);
        if(ra<rb) swap(ra,rb);
        double r1=ra-rb;
        double k1=1.0/ra,k2=1.0/rb,k3=1.0/r1;
        double k4=k3+k2-k1;
        double ans=r1*r1;
        n--;
        for(int i=1;i<=n;i+=2)
        {
            double r2=1.0/k4;
            if(r2*r2<esp) break;
            ans+=r2*r2;
            if((i+1)<=n) ans+=r2*r2;
            double k5=2*(k4+k2-k1)-k3;
            k3=k4,k4=k5;
        }
        printf("%.5f\n",ans*PI);
    }
    return 0;
}

hdu 6158（数学定理）

The Designer 笛卡尔定理 递推

你可能感兴趣的:(hdu 6158（数学定理）)

The Designer 笛卡尔定理递推