The Discrete Fourier Transform (DFT)（3）

再回首看之前写的两篇文章，总感觉还欠差一点什么，这里在加一点。

虽然对傅里叶变换有了一定的理解，但是每次看到离散傅里叶变换的公式还是有点懵的感觉，这里将详细的退一下离散傅里叶变换公式的由来及其意义。
何为离散傅里叶变换？就是先将连续傅里叶变换通过冲击函数进行取样获得离散的数据，然后对这些离散的数据进行傅里叶变换，这就是傅里叶离散变换，公式如下：
$$\begin{gathered} F(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi ut}dt \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt \\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt \\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_n{e}^{-j2\pi un\Delta T} \end{gathered}$$
上式的最后一个公式无非是应用了冲击响应的性质将t替换成了$n\Delta T$而已，没什么了不起的，很好理解。接下来才是重点。
我们知道离散傅里叶变换得到的结果也是离散函数，而上面得到的是连续函数，所以上面不是我们真正想要的解。
上面的连续函数是f(x)的傅里叶变换函数F(u)以$\Delta T$为周期平移得到的，而我们需要的只是其中一个周期即[0,$\Delta T$]内的部分，因为这部分就是F(u),为了得离散的数据，我们将[0,$\Delta T$]的数据平均分成M份(因为原始数据为M个离散点)，而这m份就是我们最后的结果，他们的坐标为：
$$u=\frac{m}{M\Delta T}$$
带入之前的式子就得到了离散傅里叶变换的公式了：
$$F_m=\sum _{n=0}^{M-1}{e}^{-j2\pi mn/M},m=0,1,2,3,4...,M-1$$