矩阵变换中等距、相似、仿射和投影变换的小结

机器学习面试填坑中，希望对大家有所帮助！！！

前言：
投影变换组成了一个群，这个群称之为投影变换群，n*n可逆实矩阵称之为一般线性群GL(n)，当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时，便得到了投影变换群，记为PL(n)，在平面投影变换时记为PL(3)，假定矩阵H为

H = { h11, h12, h13
      h21, h22, h23
      h31, h32, h33
      }

其中当最后一行为（0，0，1）时的变换为仿射变换，在仿射的前提下，当左上角2*2的矩阵正交时为欧式变换，左上角矩阵行列式为1时为定向欧式变换，所以，投影变换群包含仿射变换群，仿射变换群又包含欧式变换群。
1、等距变换：即平移变换和旋转变换的复合，用R表示变换矩阵，R为3*3矩阵。

R={{r11, r12, tx},
   {r21, r22, ty},
   {0,   0,    1}
}

左上角2*2矩阵为旋转部分，tx 和ty 为平移因子，它有三个自由度，即旋转，x方向平移，y方向平移。等距变换前后长度，面积，线线之间的角度都不变。
2、相似变换：它相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合，用S表示变换矩阵，S为3*3矩阵，

S = {{s*r11, s*r12, tx},
     {s*r21, s*r22, ty},
     {0,     0,      1}
}

左上角2*2矩阵为旋转部分，tx 和 ty 为平移因子，它有四个自由度，即旋转、x方向平移、y方向平移和缩放因子s。相似变换前后长度比，夹角、等等保持不变。
3、仿射变换： 相当于平移变换和非均匀变换的一个复合，用A矩阵，A为3*3矩阵，

A = {{a11, a12, tx},
     {a21, a22, ty},
     {0,    0,   1}
}

其中A可以分解为A = R(a)R(-b)DR(b), 其中D={{c1, 0}, {0, c2}}
左上角2*2矩阵为旋转部分，tx,ty为平移因子，它有6个自由度，即旋转4个，x方向平移，y方向平移。它能保持平行性，不能保持垂直型，图像中各部分变换前后面积比例保持不变，共线线段或者平行线段的长度保持不变，矢量的吸纳性组合不变，面积被缩放了c1*c2=detA倍。
4、投影变换： 用H表示，H为3*3矩阵，如前面那样，它有8个自由度，其中

H={ {h11, h12, h13},
    {h21, h22, h23},
    {h31, h32, 1}
}

其中h31与h32不为0是它与仿射变换的本质区别，它使得仿射变换的非线性效应，可以把一个H分解为：
H= SAP， 其中S 为相似变换，A为仿射变换，P为投影变换。变换前后共点，共线，交比，相切，拐点，切线的不连续性保持不变。
总结：
仿射变换介于投影变换和相似变换之间，仿射变换推广相似变换使得夹角不在保持不变，造成物体形状在变换后产生歪斜，在变换中，它只与方向相关，与位置无关。