SVM初学

一、            一点基础数学知识

现在硕士都快毕业了,反而将自己的许多数学知识忘的差不多了,所以,现在决心再捡起来,以补齐自己的数学短板,为以后的研究做好铺垫吧。现在结合自己学习SVM、MLC、ANN等机器学习方法来回顾以前的数学知识以及补充新的数学知识。

在SVM中,首先面临的问题是计算样本点到分类超平面的距离,现在就从最简单的点到直线的距离、点到平面的距离等内容开始回顾。

1)  点到直线的距离计算公式

假设直线L的方程为:


那么,点(x0,y0)到直线L的距离为d


如点(2,2)到直线2x-y+1=0的距离为:

SVM初学_第1张图片

  几何示意图如下:

SVM初学_第2张图片
 

 

 

 

 

 

 

 


2)点到平面的距离

假设平面P的方程为 ,则点(X0,Y0,Z0)到平面P的距离d为:


 SVM初学_第3张图片

几何示意图如下。

SVM初学_第4张图片

对于高维空间,假设存在超平面f(x)=W*X+b,那么样本点到超平面的相对距离距离可以用来表示。但是,这并不是严格的定义。在确切的描述高维空间中,点到超平面的距离之前,首先要引入向量、范数等数学知识加以描述。

3)向量内积(点积或者数量积)

假设有a=[a0,a1,a2,a3,…,an],和向量b=[b0,b1,b2,b3,…,bn],则向量a与向量b之间的内积为:a.b=a0b0+a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=|a||b|cosθ=a*bT, θ为向量a与向量b之间的夹角,T表示矩阵转置运算.

4)向量叉积(向量叉乘)

a×b=|a||b|sinθ,θ为向量a与向量b之间的夹角。其运算结果是一个向量而不是标量。假设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)

为了便于记忆,利用三阶行列式,写成

SVM初学_第5张图片

则:

a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k=( aybz-azby, azbx-axbz,axby-aybx)

    5)范数

定义:范数(norm)是数学中的一种基本概念,在泛函分析中,范数是一种定义在赋范线性空间中函数,满足相应条件后的函数都可以被称为范数。是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范函是一个函数,其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。

对于向量v,向量的长度(范数)为非负数

SVM初学_第6张图片

假设v是 实数域中的向量,,如果v与二维平面上的点(a,b)对应,那么范数 的几何意义为二维平面上原点到点(a,b)的直线距离。

有了范数的概念,我们便能推导点到超平面的距离(SVM中的几何间隔)。

SVM初学_第7张图片

上图所示,对于一个点x ,令其垂直投影到超平面上的对应的为x0 ,由于w是垂直于超平面的一个向量(即超平面的一个法向量), 为样本x到分类间隔的距离,我们有:

SVM初学_第8张图片

其中,即为范数。 即为超平面的单位法向量。我们在此将上式代入超平面方程进行推导:


因为,x0为超平面上的点,满足f(x0)=0

因此:


又因为 ,因此:


至此,我们推导了点到超平面的几何距离。但是,回到SVM中,由于SVM中超平面存在方向性,即在超平面的左侧或者右侧,其函数值存在正负。因此,我们还需要对上述的几何距离的定义加以约束。通俗点说,就是f(x)的取值有正有负,但距离必须是正的,所以,在SVM中,由于采用类别标签(+1,-1)来表示分类的类别属性,因此定义


    因此,在SVM中,其几何间距(Geometrical Margin)


从这也可以看出,对于二分类问题,SVM为什么习惯将类别标签默认为(+1,-1)。

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