QR decomposition and Givens Rotation (QR分解与Givens旋转)

在最近做的一个研究中，需要对 QR 分解进行更新，因此了解了一些关于 QR 分解和 Givens 旋转的内容。在这里进行总结。

QR 分解

所谓 QR 分解，就是将一个矩阵（可以不是方阵）分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵。即

A=QR

其中 Q 是正交矩阵，即 Q 中的列向量互相正交，即 QTQ=I ； R 是上三角矩阵。当 A 为非奇异矩阵时，这个分解是唯一的。

实现 QR 分解的算法有多种，包括 Gram–Schmidt 正交化，Householder 变换，以及 Givens 旋转。本文主要讨论用 Givens 旋转来实现的方法。关于 Gram–Schmidt 正交化实现的方法可以参看 QR Decomposition with Gram-Schmidt 。

Givens 旋转

Givens 旋转在数值计算中的主要作用在于将矩阵中的元素置换为0。具体来说，就是将原矩阵做成一个正交的 Givens 矩阵，然后将原矩阵特定位置上的元素变成0。下面以一个 2×2 矩阵的例子进行说明。

A=[1324]

在Givens 旋转一般考虑同一列中的两个元素，并通过左乘正交阵的方法把下方的元素变成0，针对上面的矩阵 A ，我们考虑第一列，并对 A 阵左乘一个正交阵，即

[0.3162−0.89440.89440.3162][1324]=[3.162304.4272−0.6325]

其中左乘的正交阵被称为 Givens 矩阵，具有形式：

G=[cosθsinθ−sinθcosθ]

在这里不详细讨论如何计算 Givens 矩阵，在 MATLAB 中可以直接调用 givens() 函数来进行计算。对于多维的矩阵，Givens 矩阵一般写作下面的形式。

G=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1⋮0⋮0⋮0⋯⋱⋯⋯⋯0⋮c⋮s⋮0⋯⋯⋱⋯⋯0⋮−s⋮c⋮0⋯⋯⋯⋱⋯0⋮0⋮0⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

QR 分解与 Givens 旋转

下面我们来说明如何通过 Givens 旋转 来实现 QR 分解。其实原理很简单，就是通过将原矩阵 A 的主对角线下方的元素都通过 Givens 旋转置换成0，形成上三角矩阵 R ，同时左乘的一系列 Givens 矩阵相乘得到一个正交阵 Q 。

可以通过下图来理解，其中 × 表示没有发生变化的元素， m 表示值改变的元素，每一个向右的箭头表示原矩阵左乘了一次 Givens 矩阵。

⎡⎣⎢×××××××××⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m×0m×mm×m⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m00mm×mm×⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m00m×0m×m⎤⎦⎥

即最终可以得到如下的形式：

QTA=R

从而得到

A=QR

相比于其他两种实现 QR 分解的方法，基于 Givens 选择的方法的优点在于其计算易于并行化，且在面对稀疏矩阵 (Sparse Matrix) 是可以减少计算量。