排列组合和二项式定理

先来看两个问题。
问题一：从 n 个元素中取出其中 k 个元素，将结果进行排序，问这样的排序有多少种可能？
问题二：从 n 个元素中取出其中 k 个元素，组成一个集合，问这样的集合有多少种可能？
问题一对应的数学问题叫排列，问题二对应的数学问题叫组合。下面分别考察这两个问题。
先看问题一，要填满目标序列的 k 个位置，第一个位置有 n 种选择，第二个位置有 n−1 种选择，第三个位置有 n−2 种选择，一直到第 k 个位置有 n−(k−1) 种选择。根据乘法原理，这样排列的可能数目为：

n×(n−1)×(n−2)×⋯×[n−(k−1)]=n!(n−k)!
记为：
Akn=n!(n−k)! （ A 代表 Arrangement）
。
再看问题二，在这个问题中我们不需要考虑这 k 个元素是以怎样的顺序呈现的。在得到 n 取 k 的排列结果后，我们需要消除这 k 个元素的不同排列对结果个数的影响。假如我们从总体中取出了 {x1,x2,⋯,xk} 这 k 个元素，那么这 k 个元素总共有多少种排列方式呢？答案是 Akk=k! 种。每个元素组都重复计数了 Akk=k! 次。所以这个问题的结果为：
Aknk!=n!k!(n−k)!
记为：
Ckn=n!k!(n−k)! （ C 代表 Combination）
。
了解了这两个概念，我们来看下这个式子：
(a+b)n=∑ni=0Cinaibn−i
这个式子被称为 二项式定理， Cin 为 二项式系数。
下面我们证明此式。
求解两个数之和的整数次幂，可以看作多次运用乘法分配律。比如求 (a+b)2 ：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+2ab+b2
第二、三步就是分别运用了一次乘法分配律。
求解 (a+b)n 相当于重复“把倒数第二个因式的每一项分配给倒数第一个因式的每一项”这一过程，也就相当于从 n 个因式中各取一项相乘，然后求这些乘积的和。
相乘的结果，用组合概念来解释，得到的 a0bn 的个数为 C0n （需要从取出 n 个值来相乘，这代表 n 个坑，其中0个为 a ，这代表 n 个坑里选出0个放置 a ），得到的 a1bn−1 的个数为 C1n ， ⋯ ，以此类推，将其加和后的结果为：
(a+b)n=(a+b)(a+b)⋯(a+b)=C0na0bn−0+C1na1bn−1+⋯+Cnnanbn−n=∑ni=0Cinaibn−i
。
二项式定理得证。