入门数论简单总结

$umm$因为$gql$数论太差了,所以决定来总结一下一些比较基础的数论知识,然后不太熟悉的可能会有些证明啥的$QwQ$

$gcd\ \&\ exgcd$

昂$gcd$就没什么好说的呀,证明过于显然我就不说了$kk$

懒得放代码了可以去看$exgcd$的代码,当做到$!b$的时候$a$即答案$QwQ$

$exgcd$用来解形如$a\cdot x+b\cdot y=c$的方程

先上一个结论,这样的方程有解当且仅当$gcd(a,b)|c$.昂这个是裴蜀定理.懒得证了反正分别从充要性两方面证下就好$QwQ$

然后我大概证下$exgcd$的过程趴$QwQ$

先说下,我这里证的$a\cdot x+b\cdot y=gcd(a,b)$,对于$c=k\cdot gcd(a,b)$的情况直接解完之后乘以$k$就成嘛$QwQ$

• 当$b=0$时$gcd(a,b)=a$,此时显然存在一组整数解$x=1,y=0$
• 当$b\neq 0$时,由欧几里德定理得$gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)$.

所以有$a\cdot x_1+b\cdot y_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\ \%\ b)=b\cdot x_2+(a\ \%\ b)\cdot y_2$

又因为$a\ mod\ b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot b$

带入得$a\cdot x_1+b\cdot y_1=b\cdot x_2+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot b)\cdot y_2$

变形得$a\cdot x_1+b\cdot y_1=b\cdot x_2+a\cdot y_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot b\cdot y_2$

    $a\cdot x_1+b\cdot y_1=a\cdot y_2+b\cdot(x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot y_2)$

所以有$x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot y_2$

然后常见应用应该是求解逆元?即当除数与模数不互质时要通过$exgcd$求解.

$exgcd$板子 $code$

欧拉定理&扩展欧拉定理

昂先放结论再证明趴$QwQ$

欧拉定理:$\forall\ gcd(a,n)=1,a^{\phi(n)}\equiv\  1(mod\ n)$.当$n$为质数时这就费马小定理$QwQ$

扩展欧拉定理:$a^b \equiv\begin{cases}a^(b\ mod\ \phi(n)) &\gcd(a,b)=1\\a^b &\gcd(a,n) \neq 1,b<\phi(n)(mod\ n)\\a^{(b\ mod\ \phi(n))+\phi(n)} &\gcd(a,n) \neq 1,b \geq \phi(m)(mod\ n)\end{cases}$

欧拉定理:

设与$n$互质的数为$x_1,x_2,...,x_{\phi(n)}$

因为$gcd(a,n)=1$

所以有$a\cdot x_1,a\cdot x_2,a\cdot x_3,...,a\cdot x_{\phi(n)}$都与$n$互质且互不相同

所以$x_1,x_2,...,x_{\phi(n)}$与$a\cdot x_1,a\cdot x_2,a\cdot x_3,...,a\cdot x_{\phi(n)}$一定一一对应

于是有$a\cdot x_1\cdot a\cdot x_2\cdot ...\cdot a\cdot  x_{\phi(n)}\equiv x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_{\phi(n)}(mod\ n)$

整理得$a^{\phi(n)}\cdot \prod x_{i}=\prod x_{i}(mod\ n)$,$(a^{\phi(n)}-1)\cdot \prod x_{i}=0(mod\ n)$

又因为$x$全部与$n$互质,得证!

拓展欧拉定理:

对三条分别证下趴$QwQ$

$case\ 1:$

设$b=k\cdot \phi(n)+c$.

于是有$a^b\equiv a^{k\cdot \phi(n)+c}\equiv a^{k\cdot \phi(n)}\cdot a^c\equiv a^c\equiv a^(b\ mod\ \phi(n))$

$case\ 2:$

$umm$这个要证嘛$QwQ$

$case\ 3:$

先说一个小结论$QwQ$

考虑将$a$质因数分解为$a=d_1^{p_1}\cdot d_2^{p_2}\cdot ...$后,若能证$\forall d$满足$d^b\equiv d^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$,就能证$a^b\equiv a^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$

先证下这个结论趴$QwQ$

考虑若已证$\forall d$满足$d^b\equiv d^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$

则有$(d^{p})^b\equiv (d^p)^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$

于是有$(d_1^{p_1}\cdot d_2^{p_2}\cdot ...)^b\equiv (d_1^{p_1}\cdot d_2^{p_2}\cdot ...)^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$

即$a^b\equiv a^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$

欧克于是接下来就只用证$d^b\equiv d^{(b\ \%\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$了

1)若$gcd(d,n)=1$.

由$case\ 1$得显然成立.

2)若$gcd(d,n)\neq 1$

令$n=s\cdot d^r,gcd(s,d)=1$

于是有$d^{\phi(s)}\equiv 1(mod\ s)$,又因为$gcd(s,d)=1$,于是有$\phi(s)|\phi(n)$,于是有$p^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ s)$

变形得$d^{\phi(n)+r}\equiv d^r(mod\ n)$

于是有$d^b\equiv d^{b+\phi(n)}(mod\ n)$

于是发现每次指数相差$\phi(n)$依然是成立的,于是有$d^b\equiv d^{(b\ mod\ \phi(n))+\phi(n)}(mod\ n)$,得证$QwQ$

应用的话一个是在$mod$为质数时常用欧拉定理.还一个就求指数幂的时候不用担心指数爆炸了$QwQ$

欧拉函数

昂首先说下欧拉函数和欧拉公式啥关系也没有$QwQ$

然后说下欧拉函数的定义趴?$\phi(x)$,表示$x$以内所有与$x$互质的数的个数

因为感觉比较少能碰到,而且基本上能用欧拉函数做的都能用莫比乌斯做了(因为,欧拉函数是可以和莫比乌斯函数互相转化的,详见莫比乌斯简要总结性质4(其实也,没有多详细$QwQ$

所以就不写应用了,写下怎么求就完事$QwQ$

就直接欧拉筛鸭,分常见三种情况讨论下趴$QwQ$

->是质数.直接赋值$\phi(x)=x-1$

->$i\%pr_j==0.\phi(i\cdot pr_j)=\phi(i)\cdot pr_j,break$

->$else.\phi(i\cdot pr_j)=\phi(i)\cdot \phi(pr_j)$

逆元

$umm$只写下线性递推的了$QwQ$还有两种一个是$exgcd$,还一种是欧拉定理快速幂,前面都写了$QwQ$

先放结论趴,若模数为$m$,有$inv_i=((m-\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)\cdot inv_{m\%i})\ mod\ m$

设$t=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor,k=m\%i$.

显然$t\cdot i+k\equiv 0(mod\ m)$,于是有$-t\cdot i\equiv k(mod\ m)$,于是有$-t\cdot inv_k\equiv inv_i(mod\ m)$

于是有$inv_i=-\lfloor\frac{m}{i}\rfloor\cdot inv_{m\%i}$,两边同加$m\cdot inv_{m\%i}$显然无影响,于是有$inv_i=((m-\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)\cdot inv_{m\%i})\ mod\ m$

板子 $code$

质因数分解

$umm$只是$mk$一个小技巧$QwQ$.

就可以先预处理出每个数最大的质因数(其实随便一个质因数都成没影响的$QwQ$.

然后每次分解质因数的时候就能直接做下去,复杂度似乎是$O(logn)$的$QwQ$

$crt\ \&\ excrt$

$umm$我之后的所有知识点都先写内容再写证明好了$QwQ$

$CRT:$

设$m_1,m_2,...,m_n$两两互质,则对于方程组$x\equiv a_i(mod\ m_i)$,在$\prod m_i$范围内有唯一解.

设$M=\prod m_i,p_i=\frac{M}{m_i},q_i\equiv \frac{1}{p_i}(mod\ m_i)$

于是有$as=\sum a_i\cdot q_i\cdot p_i$

$exCRT:$

不保证$m_i$之间两两互质.(这个其实还$easy$些$QwQ$?

考虑若$n=2$,也就$x\equiv a_1(mod\ m_1),x\equiv a_2(mod\ m_2)$

变形得$x=m_1\cdot x_1+a_1=m_2\cdot x_2+a_2$

就只要解出一个$m_1\cdot x_1-m_2\cdot x_2=a_2-a_1$的使得$x$最小的解就成,所以就$exgcd$解下呗$QwQ$.

设解出的$x$为${x}'$,于是原式变为,$x\equiv {x}'(mod\ lcm(m_1,m_2))$

这么一直做下去就好$QwQ$

证明:

$crt:$

只证充分性了$QwQ$

考虑因为$m_i$之间两两互质,所以对于$j\neq i$,$q_i\ mod m_j\equiv 0$,也就说对每个$i$,$\sum a_i\cdot q_i\cdot p_i$在膜$m_j$下有意义的只有$a_j\cdot q_j\cdot p_j$,又因为$q_j\cdot p_j\equiv 1(mod\ m_j)$

于是显然$QwQ$

$excrt:$

$umm$话说我$jio$得我前面港做法的时候就把证明差不多搞完了?不说了$QwQ$

说下应用趴,$crt$一般用于题目模数不是质数时的合并.即,若一个模数唯一分解$m=\prod p_i^{a_i}$,那么我们解出所有在$mod\ p_i^{a_i}$意义下的解然后合并就好

$CRT$板子 $code$

$exCRT$板子 $code$

$BSGS\ \&\ exBSGS$

一般用于求解形如$a^x\equiv b(mod\ p)$的方程.其中$BSGS$有限制:$gcd(a,p)=1$,$exBSGS$没有这个限制

因为这不是什么定理所以就不是以内容+证明的形式了,直接写怎么做,正确性其实就在里面了$QwQ$

先说$BSGS$趴

考虑将设$tmp=\left \lfloor \sqrt{mod} \right \rfloor$,$x=i*tmp+j$

然后式子就可以变形成, $ a^{i \cdot tmp} \equiv b \cdot a^{j} $

然后预处理出右边的值存到$map$中,枚举左边查就行$QwQ$.复杂度就$O(\sqrt(p))$

然后港下$exBSGS$.

设$d=gcd(a,p)$.

先将原式变形得$a^x+p\cdot k=b$.

于是两边同除$d$得$\frac{a}{d}\cdot a^{x-1}+\frac{p}{d}\cdot k=\frac{b}{d}$.这样就可以当作$\frac{a}{d}$是一个系数了

然后一直做下去直到$gcd(a,\frac{p}{d})=1$,这时候就又成$BSGS$了,把系数除去后跑个$BSGS$最后再还原回去就好$QwQ$

另外,如果过程中$\frac{b}{d}$不是整数了,就说明无解,$over$

$BSGS$板子 $code$

$exBSGS$板子 $code$

组合数学

这个我可能有时间会另外开坑,,,只是$mk$下$QwQ$

莫比乌斯反演

同上$w$

博弈论

同上$w$

二次剩余

咕咕咕咕咕

$miller-rabin$

咕咕咕咕

$pollard-rho$

咕咕咕

同余类最短路

咕咕

原根

咕