史上最通俗的海明码编码计算、检错和纠错原理解析

合法代码集：所谓合法代码集就是当代码由于未知因素导致出错后，计算机可是识别到错误的代码。不合法代码集：{(001), (010), (101), (111)}。如果（101）出错，可能是（111），那么无法判断是错误代码还是本来就是（111），因此不合法。下面给出合法代码集：{（001），（100）， （111）}，当有一位发生变化时并不会和代码集中的其他代码发生冲突，因此合法。

编码的最小距离：合法代码集中任意两组合法代码之间二进制位数的最少差异。编码的检错、纠错能力与编码最小距离直接相关，公式描述为：L-1 = D+C(D>=C)

L: 编码的最小距离

D: 检错的位数

C：纠错的位数

汉明码：具有一位纠错能力的编码方案，实质上是使用特殊分组方式的奇偶校验。

奇偶校验：假定需要传输的数据是“00100011”，那么在原数据加上一个校验位，使得“1”的个数是偶数个：“100100011”。当传输到另一端的时候，检查“1”的个数是否是偶数个，如果还是偶数，那么表示没有错误，否则就是失效的数据。

带分组的奇偶校验：为了更加精确的定位出错的二进制位，那么可是将二进制位分组，将“00100011”分成“0010”和“0011”，分别在两个分组前加上一个校验位：“10010”和“00011”，这就构成了“1001000011”，发送到对方的时候，将每个分组的“1”查找一遍，然后考察是否是偶数个，即可更加精确的定位到是哪个分组出错。

汉明码的编码：上边说的都是基于划分的分组方式，汉明码是基于非划分的分组方式。假定存在如下数据位：

我们将这个长度的代码分成3组，每组包含1个校验位，总共包含4个数据位，如下图所示：

将3个组分别命名为Group1、Group2、Group3,那么将会产生三个校验位结果：

Group3	Group2	Group1	Result
0	0	0	没有错误
0	0	1	Group1中有错误，1的位置出错.
1	0	1	Group1和Group3公共区域出错，5位置出错.
...	...	...	...

既然有了校验位，那么这些校验位应该放到哪里呢？我们上面将数据按位划分了组：

Group1: {1, 3, 5, 7};

Group2: {2, 3, 6, 7};

Group3: {4, 6, 6, 7}.

实际上，我们的分组方式就是按照汉明码的编码规则划分的，因此要考察每个分组的特征：

Group1: {1, 3, 5, 7};

Group2: {2, 3, 6, 7};

Group3: {4, 6, 6, 7}.

显然，应该放到2^n-1位。

如果是二进制代码的话产生的校验值会有如下特征：

Group1:xxxx1

Group2:xxx1x

Group3:xx1xx

Group4:x1xxx

...

从右向左，如果Group1的第一位是1，表示Group1独有的比特位出错。如果是Group1的第一位和Group4的第四位同时是1，表示Group1和Group4共有且其他组没有的比特位出错。

综上所述，汉明码总共有三个要素：

l 汉明码的组成需要添加多少位校验位

因为每个组都有一个校验位，所以多少个校验位就是多少个组，设校验位包含k位，原始数据比特位有n位，在加上一种没有错误的情况，因此是2^k >= n+k+1(和画图一样的道理)。

l 校验位在整个编码中的位置

2^n-1

l 校验位的取值

根据采用的是奇校验还是偶校验有关。

汉明码使用交替跳跃的方式选择每个组中应该包含的比特位，比如：

Group1:选取1位，跳跃1位；

Group2:选取2位，跳跃2位...

汉明码的校验：

Group1 = 1⊕3⊕5⊕7

Group2 = 2⊕3⊕6⊕7

...

测试题：求“0101”按照偶校验配置的汉明码

原始数据长度n = 4; 分组个数：k = 3; 汉明码排序：

比特位序号	1	2	3	4	5	6	7
汉明码	C1	C2	0	C4	1	0	1

下面是每个分组的情况：

C₁分组情况:

1	3	5	7
C1	0	1	1

C₁分组已经有偶数个“1”，因此C₁ = 0;同理，C₂ = 1; C₄ = 0。

因此，汉明码为：“0100101”