【算法】先生，您点的查找套餐到了（二分、插值和斐波那契查找）

参考资料

《算法（java）》                           — — Robert Sedgewick， Kevin Wayne

《数据结构》                                  — — 严蔚敏

Interpolation Search[插值查找]     — —  维基百科

Fibonacci Search[斐波那契查找]   — —  GeeksforGeeks 

 

根据输入的一个关键字（Key）,  在一个有序数组内查找与该关键字值相等的元素， 若找到则将该元素的下标返回， 若未查找到则返回 -1。 这是一种很常见的操作。

 

今天的文章主要介绍在有序数组中的三种查找方法：

• 二分查找
• 插值查找
• 裴波纳契查找

 

 

在数据量很小的情况下， 我们可能会选择用顺序查找的方式处理。

 

顺序查找

 

顺序查找， 就是逐个遍历数组中的每一个元素，逐个比较它们和关键字是否相等，当查找到相等元素时， 遍历停止。

 

例如在下面这个数组中查找值为8的元素的下标,  查找成功需要进行9次比较。

 

 

 

当数组的规模逐渐扩大时候， 因为比较次数太多，顺序查找耗时太长。 所以我们想， 有什么方法能减少比较的次数呢？

 

二分查找

 

在介绍二分查找前， 先让我来插一段故事。。。

 

这个名扬京华的食府， 在一天的多数时辰里，都是坐无虚席。

 

就在这时，一位慕名前来的食客。在等候许久后，终于等来了他点的菜品。

 

这位客人，叫做有序数组。

 

“先生您好， 这是您点的查找套餐”， 店小二终于赶了过来。 摆上了第一道菜。

 

“二分菜系么”，客人轻语着， 瞧见那盛菜的雪色素瓷上， 清晰的镌刻着 1/2 这个数字。

 

客人笑了，“仅凭一道家常菜，便能艳压京华众食府， 贵店的厨子果然名不虚传呢”

（未完待续）

 

 

咳咳，回到正文——二分查找

 

二分查找的思想

设置一个循环，不断将数组的中间值（mid）和被查找的值比较，如果被查找的值等于a[mid],就返回mid; 否则，就将查找范围缩小一半。如果被查找的值小于a[mid], 就继续在左半边查找;如果被查找的值大于a[mid],  就继续在右半边查找。 直到查找到该值或者查找范围为空时， 查找结束。

 

 

 

 

 

基于数组的有序性， 每次都将当前的数组分为两半， 通过关键字和中间元素的比较， 立即排除掉其中不可能存在和键值相等的元素的那一半。

 

这样，每次减少的一半元素的比较， 前后叠加起来， 就是二分查找相对于顺序查找提高的性能。

 

二分查找代码

 

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 22:55 2017/12/7
 */
public class BinarySearch {
  /**
   * @description: 二分查找
   * @param a:   待查找数组
   * @param key: 查找的关键字
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low = 0;
    int high = a.length-1;
    int mid;
    while(low<=high){
      mid = (low + high)/2;
      if(key<a[mid]) {
        high = mid - 1;
      }
      else if(key>a[mid]) {
        low = mid + 1;
      }
      else {
        return mid;
      }
    }
    return -1;
  }
}

 

 

点击这里在线运行代码！

 

通过mid = (low + high) / 2，并比较Key和a[mid]大小， 根据比较的结果， 用high = mid - 1和low = mid + 1 “丢掉”一半的元素（从mid = (low + high) / 2 可以看出被排除的一半元素不会纳入到下一次的比较中了）

 

整个过程中，左游标 low 和右游标 high 互相靠近， 最后的结果可能有两个：

 

1. 在low和high交叉前(low>high) 查找成功，查找结束 

2.  数组中没有和关键字等值的元素， 最后low和high交叉（low>high）, 跳出while循环， 返回 -1。

 

二分查找轨迹

 

下图所示的是我们在数组中查找关键字为8的元素的过程， 一开始的时候左右游标分别指向数组的首末位置

 

 

 

 

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （0 + 9）/2 = 4,  而a[mid] = a[4] = 4,  Key = 8, 因为Key>a[mid]，所以Key必定出现在mid的右半边， 左半边的元素可排除（a[0]~a[4]）， 将左半边待比较的元素“丢弃”。 “丢弃”的方法是将左游标 low 移动到当前 mid 右边相邻的位置， 这样左半边的元素就不会出现在下次比较中了。

 

 

 

 

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （5 + 9）/2 = 7,  而a[mid] = a[7] = 7,  Key = 8, 因为Key>a[mid]，所以Key还是在数组的右半边,  mid左半边的元素可排除（a[5]~a[7]）, 丢弃左半边待比较的元素——将左游标low移动到 8 的位置。

 

 

 

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （8 + 9）/ 2 = 8， 而a[mid] = a[8] = 8, Key = 8， 因为Key == a[mid], 查找成功。

 

 

 

 

使用了二分查找后，  我们仅仅只比较了3次（比起比较了8次的顺序查找）

 

插值查找

 

 

看到这里你可能有点累了，再来段故事（接上文）

 

客人并没有像其他食客那样，面对珍馐美味而饕餮一番。

 

而是浅尝一口后， 用手巾擦擦嘴， 对店小二道：

 

“《二分》这道菜味道固然不错，软滑香糯，鲜美多汁”

 

“可这并不是你们大厨最富盛名的菜色吧！”，客人朗声说道， 平静的脸上似有似无地飘着几分愠怒的神色。

 

店小二一惊， 深知这位客人不是好伺候的主。“请您稍等！”，小二说完后便禀报大厨。

 

一刻钟后， 第二道菜上来了。

 

“插值菜系么？” 这位口味刁钻的客人竟面露喜色，又重新拿起了调羹。

（未完待续）

 

回到正题：

 

插值查找的思路

 

上面的二分查找，每次是从数组的中间位置查找的， 让我们把思维发散一下： 查找的位置一定要从中间开始查找吗？

 

打个比方： 我们在一本英文字典里面查找apple这个单词的时候， 你肯定不会从字典中间开始查找， 而是从字典开头部分开始翻，因为觉得这样的找法才是比较快的。

 

这给我提供了一个思路： 如果能在查找前较准确地预测关键字在数组中的位置的话，这样设计出的查找方法能比二分查找提高更多的性能！ 基于这种思想，我们设计了插值查找的算法。

 

插值查找和二分查找非常相似， 只要对原代码做少许变动就可以了。

 

二分查找中关键的一行代码，是mid = (low + high) / 2， 转变一下就是mid = low + (high - low)/2,   （high-low）后面乘的这1/2就是二分查找每次查找的位置。要实现插值查找， 只要把这里的1/2替换成我们所预测的关键字的位置占数组总长度的比例就可以了。

 

这个比例，可以用公式(key - a[low])/ (a[high] - a[low])来计算， 合起来插值查找对mid的计算公式是：

mid = low + (high - low)*（key - a[low]）/ (a[high] - a[low])

 

在元素数值均匀分布的有序数组里面， 用这种方法查找是很快的。特别的，对绝对均匀分布的数组（相邻元素差值相同）， 插值查找用一次比较就能查找成功：

 

 

 

当然了， 前提是数组中元素数值是均匀分布的， 如果是对 1,2,40,99,1000这种分布很不均匀的数组， 插值查找的计算会起到反效果， 就不如二分查找了。

 

插值查找代码

 

代码如下：

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 23:09 2017/12/7
 */
public class InterpolationSearch {
  /**
   * @description: 插值查找
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low = 0;
    int high = a.length-1;
    int mid;
    while(a[low]!=a[high]&&key>=a[low]&&key<=a[high]){ // 这个判断条件很重要！ 不能缺少
      mid = low + (high - low)*(key - a[low])/(a[high] - a[low]);
      if(key<a[mid]) {
        high = mid - 1;
      }
      else if(key>a[mid]) {
        low = mid + 1;
      }
      else {
        return mid;
      }
    }
    if(key == a[low]) return low; // 如果是 2,2,2,2,2这种全部重复元素，返回第一个2
    else return -1;
  }
}

 

 

点击这里在线运行代码！

 

注意， 一定要保证两点：

1. a[low]!=a[high] （ 插值公式里分母是a[high] - a[low]，不能等于0）
2. a[low]<=key<=a[high]

用这两点作为while循环的判断条件。

 

while循环里的判断条件可以是low<=high吗?

 

不可以！！ 这有可能导致在查找不存在的值时，让代码陷入while死循环

 

因为插值查找和二分查找很相似， 很多同学可能会想： 那我只要把mid = (low + high) / 2换成插值公式不就可以了嘛？ 其他不变就OK啦。

 

但请注意：

mid = low + (high - low)*(key - a[low])/(a[high] - a[low]);

这个公式里， （key - a[low]）在计算过程中是可能出现负值的，这个时候mid的变化就不是mid = low + 一个正值。 而是mid = low + 一个负值，  mid会出现意外减少的情况，如果这个时候又刚好key>a[mid]的话， 那么low也会减少，因为：

      else if(key>a[mid]) {
        low = mid + 1;
      }

 

然后原本只能增加（向右移动）的左游标low竟然减少（向左移动）了！

 

 

 

下面用debug测试: 在 1,4,6,9,11,66,78中查找22时， 每一轮的low和hign游标的值

 

用[low,high]表示，变化如下：

[0,6]
[1,6]
[2,6]
[3,6]
[4,6]
[5,6]
[3,6]  // low从5倒退到3的位置， 开始死循环
[4,6]
[5,6]
[3,6] // 第二轮的死循环.....
......

 

 

原因也就是我上面所说的， 因为插值公式的计算里， key - a[low]计算出了负值， 在这个例子中是22 - 66 = -44所导致的。

 

如果你去百度“插值查找”， 几乎所有博客都告诉你,  while循环里的判断条件是while(low<=high)。

 

对此，我只想说：

 

 

 

 

更多的可以看看这里：

插值查找——维基百科

 

处理边缘情况：重复元素

 

A.

有一种很讨厌的边缘情况，那就是输入的数组全部都是重复元素，例如2,2,2,2因为while循环里的a[low]!=a[high]的判断条件，所以它并不会进入while循环并造成可怕的“除0”错误， 但如果这个时候刚好key = 2， 我们总不能返回 -1 吧，所以在while循环下面我们设置了这一段代码：

    if(key == a[low]) return low; // 如果是 2,2,2,2,2这种全部重复元素，返回第一个2
    else return -1;

 

B .

你可能还担心一种情况，那就是： 对1,2,2,2,3,5这样的数组， 一开始的时候是能进入while循环的，但万一在循环中发生了a[low] - a[high] = 0 导致“除0”错误怎么办呢？  放心，从逻辑上可以判断这不会发生， 因为low和high并不会同时使a[low]和a[high]等于2， 这一点我们分类讨论：

1. 对上面的数组，假设重复元素就是Key,那么当a[low]或a[high]取到该元素时就跳出while循环了
2. 假设重复元素不是Key, 例如是3, 这时high不动，low会一直右移直到跳过2
3. 假设重复元素不是Key,且Key不存在，例如查4，分析同2

 

裴波那契查找

 

 

能看到这里真是辛苦你了， 继续一段上面的故事

 

《插值菜系》上桌后， 已经被客人吃完了一半。这时，他却把调羹放下了。小二觉察，漫步前来。

 

“非常美味的料理，称之为山珍海味也不为过” ， “然而， 却仍然不是我最想吃到的那道菜。”

 

小二愣了， 就算是权倾朝野的显贵登临， 也未曾说过此番言语。

 

“你们的主厨， 可是姓裴？” 

 

店小二顿时醒悟， “请您再稍等片刻！”， 说完后便前去告知厨子

 

片刻， 上了第三道菜。 已经很多年没人点这道菜了， 以至于它早在这家食府的菜单上遗失。

 

这道菜看上去很少， 碗里却好似托着着山与海

 

那盛菜的青花玉盘的釉面上，清晰地镌刻着“1、1、2、3、5、8、13、21”等一连串数字。

（未完待续）

 

进入正题

 

 

裴波那契查找的来源

裴波那契数列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）这一条件递增的一串数字：

1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...

两个相邻项的比值会逐渐逼近0.618 —— 黄金分割比值。这个非常神奇的数列在物理，化学等各大领域上有相当的作用， 于是大家想： 能不能把它用在查找算法上嘞？？

 

于是就有了裴波那契查找算法， 裴波那契数列最重要的一个性质是每个数都等于前两个数之和（从第三个数字开始）。 也就是一个长度为f(n)的数组，它能被分成f(n-1)和f(n-2)这两半， 而f(n-1)又能被分为f(n-2)和f(n-3)这两半。。。直到分到1和1为止（f(1)和f(2)）。

 

 

 

（注意一个细节： 在分割时，可以选择将“大块”的f(n-1)放前面部分，也可以将“小块”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大块”在前进行的）

 

 

这里我们发现，二分查找， 插值查找和裴波那契查找的基础其实都是：对数组进行分割， 只是各自的标准不同： 二分是从数组的一半分， 插值是按预测的位置分， 而裴波那契是按它数列的数值分。

 

三个数组以及它们之间的关系。

 

了解裴波那契查找的算法实现， 最重要的是理解“三个数组”之间的关系，它们分别是：

• 待查找数组 (a)
• 裴波那契数组(fiboArray)
• 填充后数组(filledArray)

裴波那契数组

要按裴波那契数分割， 我们当然要创建一个容纳有裴波那契数的数组，那么，怎么确定这个数组的长度呢？ 或者说， 怎么确定数组里裴波那契数的最大值呢？（最后一个值）

 

答：只要刚好能满足我们的需要就可以了，裴波那契数组的长度，取的是大于等于待查找数组长度的最小值。原数组长4则取5，长6则取8，长13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）

 

填充数组

其次我们要考虑的是： 我们的数组长度不可能总是满足裴波那契数的， 例如5、8、13、21等是裴波那契数， 但我们的数组长度可能是6,7,10这些非裴波那契数， 那这时候怎么办呢？  总不能对长度为10的待查找数组按照8和13进行第一次分割吧， 所以我们应该按照上面选定的裴波那契数组的最大值， 创建一个等于该长度的填充数组， 将待查找数组的元素依次拷贝到填充数组中， 剩下的部分用原待查找数组的最大值填满。

 

我们进行查找操作的并不是待排序数组， 而是对应的填充数组！

 

 

 

 

查找到填充的部分元素如何处理？

当我们在填充数组中查找成功后，该元素可能来源于在原数组的基础上填充的部分元素（上图黄色9）， 返回的下标(10,11,12)显然是不准确的，而应该返回原数组的最后一个元素的下标(9) 。

 

所以，解决方法就是： 在填充数组中查找成功后， 判断返回的元素下标和原数组长度的关系，如果：返回下标 > 原数组长度 - 1, 那么改为返回原数组最后一个元素下标就OK了。

 

查找过程

OK，有了上面的基础我们总结下查找的过程：

1. 根据待查找数组长度确定裴波那契数组的长度（或最大元素值）
2. 根据1中长度创建该长度的裴波那契数组，再通过F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契数列为数组赋值
3. 以2中的裴波那契数组的最大值为长度创建填充数组，将待排序数组元素拷贝到填充数组中来， 如果有剩余的未赋值元素， 用待排序数组的最后一个元素值填充
4. 针对填充数组进行关键字查找， 查找成功后记得判断该元素是否来源于后来填充的那部分元素

 

具体代码

 

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 16:54 2017/12/7
 */
public class FibonacciSearch {
  /**
   * @description: 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
   * @param a: 待查找的数组
   */
  private static int[] makeFiboArray(int[] a){
    int N = a.length;
    int first = 1,sec = 1,third=2,fbLength = 2;
    int high = a[N-1];
    while (third// 使得裴波那契数不断递增，直到值刚好大于等于原数组长度为止
      third = first + sec; // 根据f(n) = f(n-1)+ f(n-2)计算
      first = sec;
      sec = third;
      fbLength++; // 计算最后得到的裴波那契数组的长度
    }
 
    int [] fb = new int[fbLength]; // 根据上面计算的长度创建一个空数组
    fb[0] = 1; // 第一和一二个数是迭代计算裴波那契数的基础
    fb[1] = 1;
    for(int i=2;i){
      fb[i] = fb[i-1] + fb[i-2]; // 将计算出的裴波那契数依次放入上面的空数组中
    }
 
    return fb;
  }
  /**
   * @description: 裴波那契查找
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low, high;
    int lastA;
    int [] fiboArray = makeFiboArray(a); // 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
    int filledLength = fiboArray[fiboArray.length-1];
    int [] filledArray = new int[filledLength]; // 创建长度等于裴波那契数组最大值的填充数组
 
    for(int i=0;i) {
      filledArray[i] = a[i]; // 将待排序数组的元素都放入填充数组中
    }
 
    lastA = a[a.length-1]; // 待排序数组的最后一个值
    for (int i=a.length;i) {
      filledArray[i] = lastA; // 如果填充数组还有空的元素，用原数组最后一个元素值填满
    }
 
    low = 0;
    high = a.length; // 取得待排序数组的长度 （注意是原数组！）
    int mid;
    int k = fiboArray.length -1;
    while(low<=high) {
      mid = low + fiboArray[k-1]-1;
      if(key<filledArray[mid]) {
        high = mid-1; // 排除右半边的元素
        k= k-1;       // f(k-1)是左半边的长度
      }else if(key>filledArray[mid]) {
        low = mid+1;  // 排除左半边的元素
        k = k-2;      // f(k-2)是右半边的长度
      }else {
        if(mid>high){ // 说明取到了填充数组末尾的重复元素了
          return high;
        }else {
          return mid; // 说明没有取到填充数组末尾的重复元素
        }
      }
    }
    return -1;
  }
}

 

 

点击这里在线运行代码

 

斐波那契查找的轨迹

 

 

 

 

我百度“斐波那契查找”的时候， 一大部分基于数组实现的代码都是创建了一个长度固定为20的斐波那契数组。

 

而第20个斐波那契数是6765，所以这样的代码只能处理长度小于等于6765的数组。

 

于是就有了另一种编写斐波那契数组的方法： 不依赖数组的编码方法，请看：

 

不依赖数组的斐波那契查找

 

请点这里：

不依赖数组的斐波那契查找（C语言）

 

说一下这种方法和我上面介绍的方法的不同点

• 我上面介绍的版本： 先把斐波那契数算出来，再全部用数组存起来， 要用的时候直接从数组里拿就可以了
• 这个版本： 不用数组存， 只算出来需要的最大的斐波那契数， 要用的时候“临时”计算就可以了

 

 

二分，插值和裴波纳契查找的性能比较

 

二分查找：

二分查找的轨迹可以用一颗判定树来表示，例如：将下面的[20,30,40,50,80,90,100]表示为一颗判定树， 因为一开始查找的是位于整个数组1/2 位置的元素50， 所以将50置于根元素位置， 接下来查找的是30或90，所以放到50的子节点的位置。

 

 

结合一个结论：具有n个节点的判定树的深度为log₂n + 1, 所以二分查找时候比较次数最多为log₂n + 1,

 

插值查找

上面也说过了，插值查找只适用于关键字均匀分布的表，在这种情况下， 它的平均性能比二分查找好，在关键字不是均匀分布时， 它的性能表现就不足人意了。

 

斐波那契查找

斐波那契查找的平均性能比二分查找好， 但最坏情况下的性能（虽然仍然是O(logn)）却比二分查找差，它还有一个优点就是分割时候只需进行加减运算（二分和插值都有乘/除）

 

 

故事结尾

 

“能品尝到裴先生的手艺，我等食客之幸也”，

 

说完这句话， 食客便从店小二的视野里消失了

 

。。。。。。。。。。。。

 

——“等等！ 你TM还没付饭钱就想走！！”

 

——“哎呀卧槽！ 忘带钱了！”

 

于是这位食客像豪猪一般在京城的街道上奔跑， 在日暮的夕阳之下映出两人的背影， 此乃后话

（全文完）

 

 

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