15分钟理解数字图像中的二维傅立叶变换语义

0 概述

最近在做图像与视觉方面的一些内容，关于数字图像中的二维傅立叶变换，一直在思考如何将二维傅立叶变换的语义形象地解释。今天翻阅https://plus.maths.org/content/上面的文章，偶尔发现了一篇文章（https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images），居然没用一个公式，将图像处理中的二维傅立叶变换解释得如此清楚。（如果不介意英语，请直接看原文）

1 二维傅立叶变换在图像中的理解

一般而言，我们平时所指的图像是平面图像，包含x轴和y轴，很多情况下，我们是在处理灰度图，如边缘提取、轮廓获取等。在灰度图中，每一个像素点的取值范围维[0, 255]，将图像看成一个函数，其中，分别表示轴和轴的坐标值，表示灰度值，则可以看成一个三维立体图像，如下图所示：

图1: 二维图像和立体灰度图

在继续之前，先看看平面二维的灰度图在三维空间中长什么样？请看下图：

图2

接着请看：

图3

其中，u轴表示灰度值，它对应的函数是，其中分别表示轴的频率。

其实到这里，熟悉一维ft的同学，应该已经猜到后面该二维傅立叶变换的语义了，只不过一维情况是时间域和频域的对应，时间是一维的，只有一个频率方向变换，而在二维傅立叶变换时，频域对应两个方向分量，一个是轴对应的频率方向分量，还有一个是轴对应的频率方向分量。

继续看下面特殊的例子：

图4: 左边是空间域，右边是频域

在二维傅立叶变换后的图像中（即频域图），每个像素都有一个对应的，其中表示空间域原图中轴频率，表示轴频率。(0, 0)表示空间域图像中灰度没有变化的区域，其亮度表示图像的平均灰度值。

图4是的图像，请看图2，显然，在原图的轴上是没有灰度变化的，而在原图的轴是有灰度变化的，由图4中右边的频域图即可看出，（-1，0）、（0，0）、（1，0）这三个白点刚好体现了这种变化（回忆一维情况下的频域）。

下面两张图更明显：

图5： sin(20x)+sin(10y)

图6: sin(100x+50y)

观察图5和图6，很容易看出其中变化。

如果我们将空间域的原图旋转，则频域的图像必然也跟着旋转（还是看空间域与频域的坐标轴对应关系），请看下图：

图7： 图像旋转

2 结论

这篇文章的关键一步是将空间域图像中的灰度值作为一个轴，变换到3维空间，然后在此基础上解释二维傅立叶变换。此外，要注意的是：空间域图像中像素点与频域图像中的像素点是没有直接对应关系，与像一维图像中的情况一样。