AC自动机学习笔记

文不达意，口齿不清，思想混乱，令人喷饭。（估计只有我自己才能看懂我在说什么）没有mathjax公式没法愉快显示

AC自动机(Aho-Corasick Automaton)是一个依次输入一个字符串S的各个字符，仅当AC自动机中保存的字符串出现在当前串S当中时，进入合法状态的自动机。AC自动机被构建在一棵Trie树上。我们可以像使用KMP算法时一样，对节点构造Fail指针，实现线性时间复杂度的字符串匹配功能。

基础内容

AC自动机被构建在Trie树上，节点有Fail指针。考虑Fail指针的性质，Fail指针只有可能是如下几种情况中的一种：

1. Fail指向Trie树的根节点
2. Fail指向父节点开始的由Fail指针构成的链上某个节点的子节点

如何理解这条性质呢？当Trie树上同时有串ABCE和BCD，对于目标串ABCD进行字符串匹配的时候，AC自动机读入目标串中D的时候，发现和ABCE中的E不同，于是跳转到BCD中的D进行匹配。所以除了父节点的Fail指针指向根节点的情况外，节点的Fail指针满足上面的性质。于是有了构造Fail指针的办法：

/**
 * 约定：
 * CodeSet: 字符集，比如字母就是'a'~'z'
 * trie[u][i]: Trie树的边，u为节点编号，i为下一个字符，我们将一些额外的边（匹配之用）也会存进去
 * fail[u]: 失败指针，指向一个节点编号
 * root: 根节点编号，这里设置为0
 */
void makeFail(int u) {
  for (int i: codeSet) {
    if (trie[u][i]!=null) {
      int tmp=fail[u];
      while (tmp!=root&&trie[tmp][i]==null)
        tmp=fail[tmp];
      fail[trie[u][i]]=(u==root)?0:trie[tmp][i];
    }else {
      trie[u][i]=trie[fail[u]][i];      // 将不存在的子节点指向fail指针引导的状态
    }
  }
}

构造Fail指针需要遵从一定的顺序，显然DFS是不可以的。因为搜寻Fail指针的时候，有的节点（例如相邻子树上的节点）Fail指针没有计算出来，所以无法推算。在这种时候应当用BFS进行搜寻。

在上面构建Fail指针的时候我们还进行了另外一种操作：就是将”不存在的子节点“指向了Fail指针引导的子节点。在这样的一张有向图上我们就可以轻松地进行字符串匹配了。

字符串匹配

就像KMP算法一样，AC自动机对字符串的匹配也是逐个读入字符，比对并进行状态转移（在上文提到的生成的有向图中）。当遇到合法节点的时候，我们进行计数。下面看这样的例子：在ABCDEF中查找ABC和BC的过程

1. 依次读入ABC，AC自动机从根结点开始由A->B->C进行转移，我们发现ABC被成功匹配了。当读取D的时候，状态被转移到了根节点，因为没有字符能和D匹配
2. 直到读完原字符串为止

问题：BC没有被匹配到。实际上在进入合法节点的时候，合法节点Fail指针形成的链上，所有的合法节点均被匹配上了。实际统计匹配成功数时，我们可以只在该节点上计数。在统计完毕之后，将Fail指针形成的树做一次树形dp：节点的匹配数等于子树根节点匹配数之和来计算总匹配数。

题目

AC自动机的题目形式相对固定，虽然不会出特别裸的字符串匹配题目。

AC自动机在ACM赛场上出现一般会作为引出题目的状态转移、或者模型的工具。AC自动机的作用可以归结如下：

1. 字符串匹配（HDU3065）
2. 字符串计数
3. 字符串构造（引出模型）

HDU5955 一个骰子不停的扔，扔出谁的目标序列谁就赢了，问：每个人获胜的概率。其中每个人对应一种目标序列（由1~6中的整数构成，且一局游戏中每个人的序列长度相等而不同）。

对所有人的获胜序列构造AC自动机。AC自动机中可以得到扔骰子的状态转移过程：实际上AC自动机中某个节点包含了之前扔的几次的信息（比如说从Trie树的根节点到该节点路径上的字符构成的串，这些信息往往很有用；又比如说节点是否是游戏的终止状态——最后几次的结果和某个人的串对应，游戏结束）。对于自动机中某个节点u，它能转移到的节点（后继）v_i一共有6个（很显然扔一个立方体骰子能产生6个不同的数字之一），到达该节点的概率就等于sum_{1}^{6}P(v_i)/6。根据这个构造出增量矩阵A：AC自动机中有边u->v（u不是游戏结束状态），那么u行v列被设置为1/6。假设答案是b（n维列矩阵，记录了自动机每个节点状态的概率）， 初始序列是x（除了0节点概率为1之外其它都是0）。有

b=sum_{i=1}^{inf}(Ai)x

当上式收敛时，将它改写为b=(E-A)^{-1}x，即(E-A)b=x，接下来的任务就是用高斯消元求解b。b中所有结束状态的概率即为所求答案。

很可惜在下并没有弄清楚题目背后的数学原理

POJ2778 有m种DNA序列是有疾病的，问有多少种长度为n的DNA序列不包含任何一种有疾病的DNA序列。（仅含A,T,C,G四个字符）

1. m=4,n=3,{“AA”,”AT”,”AC”,”AG”}，答案为36，表示有36种长度为3的序列可以不包含疾病
2. 疾病字符串最多10个，且长度<=10

很惭愧……等我研究懂了再说