【小知识】证明 $1$ 到 $n$ 的立方和公式

• scb 发明了小学奥数（确信）

Formula

　　\(\sum\limits_{i=1}^n i^3 = (\sum\limits_{i=1}^n i)^2\)

Provement

　　构造一个矩阵 \(a\) \[1\space 2\space 3\space 4\space 5 \\ 2\space 4\space 6\space 8\space 10 \\ 3\space 6\space 9\space 12\space 15 \\ 4\space 8\space 12\space 16\space 20 \\ 5\space 10\space 15\space 20\space 25\]
　　（这个矩阵还可以往右下无限延伸，这里限于篇幅就写这么多）
　　对于左上角 \(n\times n\) 个数的和，有两种不同的求法。两种求法对应了标题中的等号两侧。

　　首先有反 L 字形求和公式：\[\begin{align} &\sum\limits_{i=1}^x a_{x,i} + \sum\limits_{i=1}^{x-1} a_{i,x} \nonumber \\ = &x\times [1+2+3+\cdots +x+(x-1)+(x-2)+\cdots +1] \nonumber \\ = &x\times x^2 \nonumber \\ = &x^3 \end{align}\]
　　故左上角 \(n\times n\) 个数的和就是 \(\sum\limits_{x=1}^n x^3\)

　　然后有一行求和公式，即第 \(i\) 行的和为 \(i\times (1+2+\cdots +n)\)
　　故左上角 \(n\times n\) 个数的和也是 \((1+2+\cdots +n)\times (1+2+\cdots +n) = (\sum\limits_{i=1}^n i)^2\)

　　Q.E.D