选自王浩的《逻辑之旅》第6章
王浩(1921-1995)，美籍华商数字家、辑学家、计算机科学家、哲学家。1921年生于山东济南市。1943年毕业于西南联合大学数学系。1945年于清华大学研究生院哲学系毕业。曾师从金岳霖、王宪钓、沈有鼎等。1946年赴哈佛大学留学，师从蒯因(W.V.O.Quine)，两年时间即获哈佛大学哲学博士学位。在哈佛短暂教学之后赴苏黎世与贝奈斯(Paul Bernays)一起工作。 1954-1956年，在牛津大学任第二届约翰 · 洛克讲座主讲，又任逻辑及数理哲学高级教职，主持数学基础讨论班。1961-1967年，任哈佛大学教授。1967-1991年，任洛克菲勒大学逻辑学教授。20世纪50年代初被选为美国科学院院士，后又被选为不列颠科学院外国院士。1983年，被国际人工智能联合会授予第一届“数学定理机械证明里程碑奖”，以表彰他在数学定理机械证明研究领域中所作的开创性贡献。有《数理逻辑概论》、《从数学到哲学》、《哥德尔》、《超越分析哲学》等专著。
可以设想(虽然远远超出今日科学的界限)，脑生理学将发展到这样的高度，让人们能够在经验上肯定：
(1)人脑足以解释所有的心智现象，它在图灵的意义上就是一台机器;
(2)人脑进行数学思维的部分，其物质结构和生理功能不外是如此这般。
——哥德尔吉布斯演讲，1951年
可计算主义(computabilism)说的是，人脑和心灵基本上像一台计算机一样工作；神经主义(neuralism)说的则是，人脑足以解释心智现象。哥德尔在20世纪70年代与我的讨论中，坚定地相信可计算主义和神经主义都是不正确的——这一立场排除了通过增加知识达到本章开始引文中引文第（1）点所预料的结果的可能性。如果我们不假设神经主义，那么可计算主义的问题就分裂成两个子问题：一个是关于神经现象的，另一个是关于心智现象的。另外，既然我们拥有相当发达的物理学，心与身的关系就常常等同于心与物的关系，这样一来神经主义就被物理主义所替代。假若我们要澄清这些前提的话，那就可以按一种明显的方式作以下的区分：一方面是生物、神经和心智现象的物理主义，另一方面是物理、生物、神经和心智现象的可计算主义。
在这7个不同的问题之中，哥德尔与我讨论的中心问题是可计算主义对于心智过程的解释，就是说，是否所有的思维——尤其是数学思维，都是计算的过程。哥德尔思索的要点是论证并非所有的数学思维都是计算。我们之间实际的讨论开始于我的一种思考，即把机械过程作为相当成功地刻画一般数学概念的一个例证。哥德尔特别地：
(1)评论了我关于图灵可计算性不是一个完全明确的概念的说法(Wang，1974a；以下称MP：81-83)；并且
(2)评论了我对于图灵的机械过程定义的充分性的一种论证(同上：90-95)。这个论证引起哥德尔的一些回应(同上：84-85，102 注30，326)，事后想起来，其中包括了
(3)对反驳物外无心这一俗见的一种猜想。哥德尔还
(4)评论了我的一种意见，这意见乃是针对运用他的不完全性定理去否证关于心智现象的计算观点(computerism)的诸种尝试的(同上：315-320)。这些评论，引出了我在MP第324页中间开始的两段文字。考虑到应从较熟悉的材料出发，逐层递进，本章中我打算先勘察(4)和(3)，然后返回(2)和(1)。
除了几处偶发的感想，我循序考察哥德尔在下面一些问题上的看法：
(1)心智可计算主义与哥德尔表达数学的计算不可穷尽性的不完全性定理之间的关系；
(2)没有坚实的证据支持流布颇广的物理主义(或物理与心理平行论)信念；
(3)图灵表述方式的优点和缺点，以及如何核证他对于计算机和计算的定义；
(4)物理的和神经的可计算主义。特别而言，哥德尔对问题(1)的看法，延续了他在吉布斯演讲中表达的思想，演讲作于1951年，讲稿亦于当年写成。(见Godel，1995以下称CW3 )
6.1 心智可计算主义---哥德尔定理和其他的提示
要尝试反驳心智可计算主义，惯常的思路是引证哥德尔的不可穷尽性定理。这条定理蕴含了：对每台生成定理的计算机来说，总有某个真句子，我们可以看出它是真的，但这台计算机不能生成它。因此，就证明定理而言，我们的心智力量看起来超过任何计算机。但我们要精确构造这个论证的时候，就会发现其中尚有细微的漏洞需要填补。
哥德尔定理的一种形式说的是：如果一台足够强的定理证明机器或程序是可靠的或一致的，那么它不能证明出表达它自身的一致性的真句子。在吉布斯演讲中，哥德尔利用这种形式导出了几条结论。1972年，他重新写过其中的两条结论：
6.1.1 人心不能将它所有的数学直觉都形式化(或机械化)。这就是说，如果它成功地形式化了其中一些直觉，那么这件事实本身又生出了新的直觉性知识，比如这个形式化的一致性。这可以称为数学的“不可完全性”。另一方面，基于迄今已证明的结果，有可能存在(甚至可以在经验中发现)一台定理证明机器，它事实上等价于数学直觉，但不能被证明如此，甚至不能证明对有穷数论它只产生正确的定理。[见Mp：324]
6.1.2 或者人心胜过所有的机器(说得确切一些，它比任何机器都能判定更多的数论问题)，或者存在一些人心不能判定的数论问题。[不排除二者都真。]
在1972年的文本中，哥德尔继续——超出了他的吉布斯演讲——论证了一种“理性乐观主义”，从而排斥了第二种可能(MP：324-325)。(参见第9.4节和与此论证有关的一些看法。)显然他自己意识到了对心智可计算主义的这种反驳说服力不强，这一点可从他不断寻求其他一些反驳方法的努力中看出。
在吉布斯演讲中，哥德尔沿着一条不同的思路往前走。在一个方向上他推敲了上面6.1.1中提出的可能性，即可能存在事实上等价于数学直觉的计算机。
6.1.3 并未排除可能存在一条有穷的规则[计算机]，产生它的所有显明的公理。然而，果然存在这样一条规则的话，我们人类的理智肯定不能知道它原来如此；这就是说，我们不能以数学的确定性知道它产生的所有命题都是正确的；换言之，对任意有穷多个命题，我们只能逐个地知觉它们为真。但是，它们都真这种陈述，至多只能在经验上肯定——或者依据足够多的实例，或者通过其他的归纳推理。[哥德尔在这段话后面附上了本章开头所引的段注释。]
既然每条“有穷的规则”都可以用有穷多条公理和推理规则来刻画，按我们现在所知，我们就有可能确定任意一条有穷规则是不是正确的。在这种情形下，没有一条有穷规则能够完全把握我们的数学直觉——因为假若它能的话，我们也会知道它的一致性，而这超出了这条规则。6.1.3的要点在于：假使有一条等价于我们的数学直觉的有穷规则，那么我们就不会知道它是如此，否则我们也会知道这条有穷规则的一致性，所以它就不会等价于我们的数学直觉。
如果我们深思通过数学家团体的实践揭示出来的数学直觉的特性及其发展，那么我们或许能够更细致地查证，所谓数学直觉在能力上实际等价于(或不等价于)某台计算机，这种可能性究竟有多大。可是有关的现象实在是太复杂、太不确定了，至少我不敢自诩能承担这项骇人的工作。
在吉布斯演讲中，哥德尔还做了一种区分，即主观意义上的数学——所有能推导的命题组成的系统，和客观意义上的数学——所有真数学命题的系统。他可以用这种区分，把6.1.2重新表述成：
6.1.4 或者主观数学在能力上超出所有的计算机，或者客观数学超出主观数学，或者两者都可能真。
哥德尔随即得出了一些权宜的、尚待推敲的结论：
6.1.5 如果第一种可能成立，那么这似乎蕴涵了人心的运作不能归结于人脑的运作，因为人脑在表观上无论怎么看都是一台有穷的机器，只有有穷多的零件，即神经元和它们的联结。
6.1.6 [第二种可能]似乎否证了数学只是我们自己的创造的观点；因为创造者必然知道他的创造物的所有性质，除了他给予它们的，它们无法再有其他的性质。所以，这种可能似乎蕴涵了，数学客体和事实(或至少它们中的某些)独立于我们的心智行为和决断而客观存在，这就是说，某种或他种形式的针对数学客体的柏拉图主义或“实在主义”[成立]。
如果我们接受这两段的推理和论断，那么我们又得到了6.1.5（译者注：似应为6.1.4 或6.1.2）的另一种说法：或者物理主义是假的，或者数学中的柏拉图主义是真的，或者两者都对。实际上，哥德尔吉布斯演讲剩下的篇幅整个在试图论证数学中的柏拉图主义——这个题目，哥德尔与我谈话时讨论甚多，我把它作为第7章的主题。
哥德尔关于创造的本性和定义的思想，和他关于人脑像一台计算机的思想，属于他最喜爱的想法。我们讨论时他曾细细分析这些想法，我会在后面适当的上下文中考虑它们。现在，我仅仅限于考虑哥德尔的那些与他的定理的意蕴直接有关的看法。毫不奇怪，其中一些看法与他的吉布斯演讲并无二致：
6.1.7 不完全性结果并未排除可能存在一台定理证明计算机，它事实上等价于数学直觉。但这些结果蕴涵着，在这种——换了其他的理由则非常不可思议的——情形下，我们或者不知道这台计算机的精确设置，或者不如道它在正确地工作。
6.1.8 我的不完全性定理大致表明，心灵不是机械性的，或者心灵不能理解它自己的机制。如果把我的结果与希尔伯特持有的、未被我的结果否定的理性主义态度合在一起，都么[我们可以推出]心灵不是机械性的这一明确的结果。所以如此，是因为假若心灵是台机器，则会存在人心不可判定的数论问题，而这与理性主义态度相悖。
6.1.9 有一种模糊的想法，说是我们可以找到一组公理，使得
(1)所有这些公理对我们都是显明的；
(2)这组公理能导出全部数学。
我的不完全性定理说明，不可能建立一个满足(1)和(2)的公理系统，因为，根据(1)，表达这个系统的以一致性的陈述对我也应该是显明的。所有这些在我的吉布斯演讲中都说得很清楚。
6.1.10 我的定理的另一个结论是两个命题的析取：
(1)数学的显明的公理不能包容在一个有穷的规则之中，因此人心胜过有穷的机器，在这个意义上，数学是不可完全的，或者
(2)对于人心来说，存在绝对不可判定的丢番图问题。我的定理的这个结论，像前一个一样，是非常鲜明的。每种情况都与唯物主义哲学冲突。情况(1)反对把心与脑等同起来。情况(2)否证了数学客体是我们的创造这一观点。
既然哥德尔的结果是形式系统或定理证明计算机不能证明它自己的一致性，那么反驳可计算主义的一个明显的想法，就是去论证心灵可以证明自身的一致性。在Mp里面，我用很长的篇幅考虑这种企图(Mp：317-321）。哥德尔讨论我的手稿的时候，对这条思路提出几种意见。后来，他把它们总括为一句话(Mp：328，注14)：
6.1.11 对于概念、命题、证明等等的概念，在它们最宽泛的意义上，还有一些未解决的内涵悖论，所以，在当今的逻辑发展阶段上，运用这些概念的自反性作出的证明，没有一种能够看成是确有结果的，虽然在满意地解决了那些悖论之后，这种论证可能变得确凿无疑。
所谓内涵悖论肯定包括了关于这种概念的悖论：是一个不能(有意义地)应用于自身的概念。【这个悖论可以这样说明：有些概念似乎能够有意义地应用于自身，如“是抽象的”——“是抽象的”(这个概念)是抽象的，有些则不能，如“是红的”——不能有意义地说，“是红的”是红的。所以有一个概念，即文中所说的“是一个不能(有意义地)应用于身的概念”，它涵盖所有不能(有意义地)应用于自身的概念。但这个概念能应用于自身，当且仅当它不能应用于自身。一译者注】 哥德尔心中其他的例子，我未能知晓。至于一般的(或绝对的)证明概念的例子，可以举出这样一个来：这个命题不可证。【设命题“这个命题不可证”为A。其中“这个命题”即指A本身，因此A表达的是：A不可证。如果A可证，那么A是真的，即“A不可证”是真的，因此，A不可证；反之，如果A不可证，则“A 不可证”是真的，即A是真的，这就证明了A。参见王浩《数理逻辑通俗讲话》，科学出版社，1981年，第18页。——译者注】【老蝉再注：这个命题是一个自成命题，即为真时其为真，没有矛盾产生；为假时，则矛盾，所以，这个命题只能为真。构造：A：A是不可证的。还有一类命题叫自毁命题，如：世界上不存在绝对真理，当其为真时，这个句子本身必须为假；反之，当其假时，没有矛盾产生，所以，这个句子必然是假的。自毁命题和自成命题都是单方向产生矛盾，前者是为真时产出矛盾，后者是为假时产生矛盾。而自指悖论，则是两个方向都产生矛盾，即不管其为真还是为假，都产生矛盾，比如：我在说谎。罗素悖论即为自指悖论。罗素悖论是由：所有不包含自身元素的集合的集合产生的，而所有包含自身元素的集合的集合并不生成罗素悖论，而是一个无穷递归】但我只是在猜测，真希望当初就问个明白。我以前说过，哥德尔把内涵悖论和语义悖论区分开来，认为前者是重要的待解决问题，后者是无关紧要的，并且已经被解决。
6.1.12 如果人们能够用某种方式澄清内涵悖论，那么就可以清楚地证明心灵不是机器。关于证明的一般概念的情形，类似于关于概念的一般概念。两者都属于垮败的领域[隐然指Mp：190的讨论]，因为我们尚未扫清围绕着这些一般概念的那些矛盾。否则就有一个证明：一旦我们理解了证明的一般概念，我们也就获得了心灵对于它自身的一致性的证明。现在的情形是，我们实际上可以从证明的一般概念，包括证明的自我应用中，推导出矛盾。基于我们对证明的一般概念的有缺陷的理解，我们可以潜在地达到这样的结论：显明性干脆就是不一致的。这说明我们的逻辑观念出了毛病，而它们本应是明白无误的。
6.1.13 概念的概念和绝对证明[简称AP]的概念可以相互定义。对于AP来说明明白白的东西，导致了一些与罗素悖论相去不远的矛盾。直觉主义如果加上AP就是不一致的。Ap可能是一个观念[康德意义上的]：可一旦人们可以系统地叙述和证明事情，我们就不再具有一个观念[而是具有一个概念]。[在进一步研究之前]退一步承认Ap或概念的一般概念是一个观念，这是不能令人满意的。纠缠着AP的悖论是内涵的——而不是语义的——悖论。我在普林斯顿200年庆典演讲【重印于哥德尔，1990；以下称cw2150-153]中，曾讨论过AP问题。
6.1.14 有可能找到AP的一个清晰的说明，数学直觉用它可以证明自身的一致性，因而显示自己不同于机器。但是，既然我们并不明白AP，数学直觉的一致性就可能不是一个命题或至少不是那么显明。如果解决了纠缠着AP的悖论，这种[通过证明我们的数学直觉的一致性来反驳可计算主义的] 论证就可能是正确的，因为[对一致性的]证明可能属于保留下来的领城。
6.1.15 布劳威尔反对谈论所有的证明或所有可构造的客体。因此按他的解释，外延的和内涵的悖论在直觉主义里都不出砚。但是我认为把所有排除在外，就像在概念论里诉诸类型论，[从直觉主义的立场来说]是相当随意的。
6.1.16 要是你接受AP作为一个概念的话，马上就会显出我是一致的。在我自己把人心也作为一个概念的使用中，有一个表面的矛盾。需要避免的是以自指的方式使用这个概念。在我们不知道如何来做。但我并不以自指的方式使用人心的概念。
依我之见，哥德尔从6.1.11到6.1.16的看法，在所处的上下文中，其主要之点乃是这样一种思想：如果我们对证明的一般概念有了更好的理解，就可以直接看出，我们能够在数学上证明的东西的全体确实是一致的。果然如此，数学直觉就可以看到并且证明自身的一致性，这一点不同于计算机。哥德尔采取康德关于观念和概念的区分，似乎要说明以我们目前的无知，绝对证明看起来像一个观念，但它借助于进一步的研究也可以变成一个概念。假如我们能够把绝对证明看做一个概念，那么我们就能以系统的方式陈述和证明和它有关的事情。特别地，我们应该能够运用我们改善了的数学直觉去证明它自身的一致性。
下面是哥德尔在一些有关问题上的些许见解。
6.1.17 人们说到心灵的时候，说的并不是一台(任何一般意义上的)机器，而是一台觉察到自身的正确性的机器。
1972年6月，在一个纪念冯·诺伊曼的会议上，哥德尔提出了这个问题：
6.1.18 一台完全知道自己的程序的机器，这样一个想法之中有什么矛盾的东西吗？
6.1.19 人脑是一台与精神相联接的计算机。[比较6.2.14]
6.1.20 机器总是知道理由。我们在提不出证明时，也可以知道或固执地猜想一个陈述。说到自我分析，我们并未察觉我们之内的所有东西；我们对心内的大部分，完全是无意识的。我们懵懂不清，经常左右摇摆。意识是主要的差别所在。
6.1.21 意识与一个统一体相联系。机器则由各部分组成。[比较9.4.13]
6.1.22 主动的理智作用于被动的理智，后者以某种方式掩盖了前者的作为，并且充当一个中介来帮助我们。[比较7.3.14]
比较哥德尔使用人心和数学直觉两个词时，术语上有些纠缠。我倾向于从人类集体经验上来理解，所以曾就用法问题向他请教。他的回答向我提示出一种简约性的理想化：
6.1.23 所谓心灵，我指一种无生命期限的个体心灵。这仍然有别于人类集体心灵。想象一个人致力于解决整个一组问题：这很接近实际人们不断地引进新的公理。
1976年6月5日，哥德尔告诉我一种猜想，他相信，这猜想若是真的，就会证明心灵比计算机优越(RG 197，关于它的叙述有误）：
6.1.24 这会是一个非常有趣的结果：证明最短的判定程序要求很长的时间去判定相对短的命题。具体些讲，有可能证明对于每一个可判定的系统和它的每一个判定程序，存在某个长度短于200的命题，它的最短的证明长于10^20。这样的结果实际上意味着计算机不能够取代人心，人心可以给出新的想法，作出简短的证明。
6.2 心与物:论物理主义和平行论
心与物的问题，出名地飘忽不定。一旦我们区别了心灵和物质，我们就似乎陷入了基本的二元论。但要合理地解释心与物如何相互作用，也相当难以措手。同时，我们在日常思维中却惯于把两者分开。关于心物关系的中心问题，一种熟悉的表述方式就是设问是否——借哥德尔的话——“人脑足以解释所有的心智现象。”这样一种解释到底存不存在，有一个简单的测试，即是探询脑的运作其数目是否多得足够表现心智的运作，使得毎一种心智运作都对应于一种或多种神经运作。换句话说，且不管心与物如何相互作用，我们可以提出一个比较容易把握的问题——人们也可以说是定量的问题，就是神经现象和心智现象之间是否有某种一对一的或多对一的对应关系。
认为确实存在这样的对应关系的信念，称呼起来可以用一个方便的词，就是心理神经平行论。如果假定所有的神经运作都是某种特殊类型的物理运作，我们也可以把这种立场等同于心理物理平行论，这个理论可以视为面目不清的物理主义立场的确定的组成部分，甚至是它的精确的表达。此时此处，我把物理主义和平行论等同看待，也不去区别不同老式的平行论，诸如把物理对应于生物，再对应于神经，然后对应到心智上面。
哥德尔不讲心理神经或心理物理平行论，而是用了这么一种表述：物外无心。既然他对“物外无心”的猜测性反驳也驳斥了平行论，我眼下也就不去寻思怎么忠实地解释“物外无心”，而干脆把它当做平行论、做了这番简化，哥德尔的两个论断(MP 326)就可以用如下方式重新表述：
6.2.1 平行论是我们时代的偏见。
6.2.2平行论将被科学地否证(也许根据以下事实没有足够多的神经细胞去承担心灵的可观察到的运作)。
偏见不必是谬见。它是一种不被现有证据所保证的强烈的信念——其强度与其证据的硬度不成比例。今天流布颇广的平行论信念是科学主义盛行的一种表现，我们知道，科学主义的盛行源自我们时代的科学和技术的辉煌成功和由此而来的统帅地位。
顺便讲一下，维特根斯坦在他的《字条集》(Zettel)里面也有类似的观察(特别是605段到621段)。比如：“赞成心理物理平行论的偏见是对我们的概念做粗陋解释的结果”。他想象一篇文字被读出时，某人即时做大略的摘记，此记录足以让这个人日后复述出这段文字，然后他说：“这篇文字不会存储在这些摘记里。为什么它应该存储在我们的神经系统里?”(Wittgenstein,1981)
不管哥德尔(6.2.2)的猜想是否能被肯定，它因为显明了一种重要的思想而颇值得玩味，这种思想就是，平行论这一哲学问题(也)是个科学的和经验的问题。这一点，哥德尔与我讨论时曾反复强调。
6.2.3 逻辑上有这种可能：心灵[与物质分离]的存在是一个经验上可判定的问题。这种可能性不是猜想。他们甚至没有意识到它背后有一个经验问题。他们一开始就假设没有[分离的]心灵。可以合理地假定在某种意义上一个人能够回忆他的生活中每种经验的每个细节：若是这个假定为真，心灵的存在就已经可以从中证明出来。
6.t.4 逻辑处理更一般的概念：单子论包含了生物学的一般规律，它比较具体。科学的界限：有没有可能全部心灵活——无穷的，比如说，永远变化的，等等——都是大脑的活动？这个问题可以有实际的答案。对于思维这个本性特别的性质说不，也意味着对基本粒子说不。物质和心灵是两种不同的东西。
6.2.5 可能没有足够的神经细胞来施展心灵的作用，这个单纯的可能性往心物问题中引入了一种经验成分。比如说，按照一些心理学家的看法，心灵能够回忆它所经验的所有细节。如果经验的存储机制远不能使用全部存储容量的话(看起来像是这样)，那么没有足够的神经细胞来做这事就似乎是顺理成章的。当然，得到经验否证的其他可能性也是可以设想的，但这整个问题在心与物的哲学讨论中却常常被忽视。
哥德尔评论我关于“哲学与科学和生活的分裂”的讨论(MP 376)时,涉及哲学的本性及其与科学的关系这样广泛的话题，他举心物问题作例子：
6,2.6 许多所谓的哲学问题是科学问题，只是还没被科学家下手处理罢了。心灵是否与物质分离就是一个例子。这样的问题，哲学家应该在科学家准备讨论它们之前就先行讨论,以便哲学具有指导科学研究的作用，这本是它的一种作。哲学的另一种作用是探讨世界的意义是什么。[比较后面第9.4节]
或此时或彼时，哥德尔表示过一些零散的看法，牵涉到平行论和心与物的对比。
6.2.7 说心与脑不同，跟[说]心与脑相同比较起来，是一个弱一些的预设。
6.2.8 对内省的基本性的发现，标志着心理学的开端。[进一步的阐说，见5.3.28。]
6.2.9 心灵与物质相分离,它是一个分离的客体。就物质而言，某物要成为整体，就必须有一个附加的客体。[比较9.4.12]
1972年6月，哥德尔在一个公开会议上发问:
6.2.10 在酶中有没有足够的特性，容许人们对心灵的所有功能作一种机械的解释?
把生命的出现与心灵的出现区分开来，本是老生常谈。在这种意义上，要作出心灵与物质间的区别，便把生物和神经现象与物理现象都归为一类。如果我们不假定这种同化，那么心理物理平行论就包含了生物物理、神经生物和心理神经平行论等成分。比如说，一些生物学家肯定，不管可计算主义是否对物理现象成立，它对生物现象可不成立，因为生命中历史的维度是相当重要的。
哥德尔1972年对早先的讨论作了一个小结，在猜测了如何科学地反驳心理神经平行论之后，他加上了其他一些意见：
6.2.11 更一般地讲，我相信生物学里的机械论是我们时代的一种偏见，是要被否证的东西。在这点上，一个否证依我看要借助于一种数学定理，定理表明在地质年代里人体依靠物理规律（或任何其他本性相同的规律)的形成，如果从开始就是基本粒子和场的随机的分配，那么这就像大气偶然地分离为它的成分，同样不太可能。
对这段复杂的陈说需要作一点解释。从哥德尔其他的想法来看(见下)，这段话里的机械论显然是指达尔文主义，他把达尔文主义明明看成一组算法的(进化)规律。虽然他似乎相信人脑——大概还有人体——像计算机一样工作(见下)，但他在这里说的仿佛是，人体如此复杂，要解释它在通常估计的那段时间里如何形成，物理规律和进化规律都无能为カ。
哥德尔跟我讨论的时候，作过一些相关的评论。
6.2.12 我不认为人脑的出现，像达尔文主义说的那样。实际上，这是可以否证的。简单的机械论不能产生人脑。我认为宇宙基本的元素是简单的。生命力是宇宙的一种初始的元素，它遵从一定的行动规律。这些规律却不简单，它们不是机械的。
6.2.1 达尔文主义看不到整体性的规律，只是借助简单的机器和少数的粒子而展开。生物体的复杂性必须呈现在物质的东西里，或者呈现在规律里面。构成了器官的物质，如果是被机械规律制约的话，就必须与生物体有同样高的复杂度。
哥德尔似乎既相信心灵比人脑复杂，又相信人脑和人体不会事实上完全由像物理和进化规律所规定的力的作用而形成。当然，许多人都再三表达了找出“整体性规律”的愿望。然而，如我们所知，这方面的探究至今仍没有确定的进展。
如果人脑只是普通的物理客体，那么神经可计算主义不过是物理可计算主义的推论。但是哥德尔似乎做了一个惊人的转向，我长久以来都未注意到这一转向。这依赖于他的物外有心(或精神)的信念。他似乎说，人脑本身只是一个物理客体，但它与心联接在一起。
6.2.14 有穷的脑即使不能储存无穷多的信息，但精神或许堪当此任。人脑是一台与精神相联的计算机。如果人脑被看做物理的东西，看做一台数字计算机，那么由量子力学可知，只存在有穷多种状态。只有把它[人脑]与精神相联，它才会以其他某种方式起作用。
从这段话似乎可以推出，人脑是一种特殊的、别致的计算机和物理客体，因为我们没有办法把一种普通的计算机或物理客体与精神如此密切地联接。6.2.11中所述的人体的复杂性，大致与此有关，按哥德尔的信念，人体通过人脑与心灵相联。6.2.12中说，生命力是宇宙的一种初始元素。的确，哥德尔之倾向于单子论，似乎暗示出生命力较之于伴其而生、随其而化的物理表观，是一种更为基本的东西。
6.3 图灵机器或哥德尔心灵?
我先前提到，1971年夏天，哥德尔同意与我定期会面，讨论我后来在1974年发表的《从数学到哲学》(Mp)一书的手稿。1971年10月13日第一次会面时，他对机械过程一节(尤其是MP 81一83 90一95)做了长篇评点，其中特别注重我对图灵的机械过程定义的精确性和正当性的讨论。
哥德尔在这次会面中提出的，并且在以后的会面中继续深究的，有3个主要之点：
(1)图灵机以一种精确定义完全把握了机械（或计算）过程的直观概念——与之等价，也把握了形式系统的直观概念，因而彻底揭示了哥德尔自己的不完全性定理的普遍性；
(2)图灵机是一条重要的证据，支持了哥德尔的如下信念：存在着明确的概念，而且我们能够清楚地感知它们；
(3)图灵对他的定义的充分性的论证包含了一个错误的证明，导致心灵与机器等价这样一个较强的结论。
关于图灵定义，哥德尔提出了一个技术性问题，并且反复思考了它，这问题写(1)和(2)都有关系。我把图灵的定义解释成只处理全函数，又论证说这个定义“实际上不像初看起来那样明确”，因为它包含了计算总要停止这个条件——“只要求这个条件成立，但使之成立的方法却付诸阙如”。(MP 83)哥德尔为了支持他对于明确的概念的信念，也为了把机械过程与形式系统联系起来，宁愿将图灵的定义解释为处理部分函数。关于这一点有反复的讨论，我在下面第6.4节里再讲。
问题牵涉到(2)的时候，哥德尔马上开始推敲他自己的数学中的柏拉图主义，并且给出其他一些例子说明我们有能力清晰地感知明确的概念。我把这方面的讨论留至第7章，在此把主要力量集中于第(3)店，这一点关系到哥德尔证明心灵优于计算机的一种尝试。
说到(1)，哥德尔经常强调图灵定义的重要性。在1946年的普林斯顿演说中，他将一般递归性(或图灵可计算性)概念的重要性归结为这样一个事实：它成功地“对于一个重要的认识论概称给出了一个绝对的定义"。(哥德尔，1990；以下称CW2：150) 20世纪60年代，他举出图灵的工作作为这方面的决定性进展，还对自己先前的文章加了两条注释，申明这种看法(哥德尔，1986；以下称CW1：195,369)。在1964年写的第二条注释里，他循着第(3)点的方向，加进了一些看法。
6.3.1 注意，是否存在有穷的、非机械的过程(就像那些基于抽象词项的意义而运用它们的过程)，不等价于任何算法，这个问题与“形式系统”和“机械过程”的定义的充分性毫不相干......注意此篇后记中提到的结果对于人类理性没有丝毫限制，倒是对数学中纯形式化的潜力有所限制。(CW1 370)。
1970年前后，哥德尔写了一段话，标题为“图灵著作中的一个哲学错误”，想作为一个脚注，插入上面引文的末尾。本章讨论的Mp(325-326页)中的版本，是这段话的修正，写于1972年。在讨论哥德尔关于这个“错误”的复杂评论之前，先让我把话题扯远一些，点明图灵的想法。
图灵从机械的一词的抽象使用(“不经由思想和意志的调度而执行”)过渡到一种具体使用(“可由机器执行”)，并且考虑了“计算机”(即一个正在做计算的抽象的人)的行为。这种计算机被描述为在“儿童算术书”中那样的方格纸上工作。接着，图灵引人了几种简化，论证了在每种情形里都没有漏下基本的东西。比如，我们可以假定计算是在划分成方格或单元的潜在无穷长的带子上进行，纸的二维特性是无关紧要的。主要的思想是，计算分成离散的步骤，每一步都是局部的，是在局部被确定的，而且是按照一个有穷的指令表确定下来的。
通常我们把这些指令储存在心里，形成一种“心灵状态"，这与被观察的那些符号一起，决定了我们在每一阶段要做什么，像是更改某些单元中的内容啦，移动一段距离去观察其他的单元啦，再就是改变心灵状态。不失一般性，图灵假定这种计算机一次只观察一个单元，而一个单元里只写着一个符号(包括“空白”)。他进一步假定只有3种基本的动作更改被观察的单元中的内容，把注意力转移到下一个(左边或右边的)单元，改变“心灵状态”。
在MP的初稿中，我试图核证图灵机械过程定义的充分性，过程中把心与脑混为一谈，因此暗自里假定了神经平行论(见MP 91--95)。特别是，我构思了一种“有穷性原则”，并且这样陈述出来：“每一个瞬间，心灵只能储存和感知有穷多款内容；就款项的数量而言，实际上有某个固定的有穷上界。”(第92页)论及这条原则的诸种应用时，我提到了存储问题：
[FSM][即有穷多的心灵状态]另外，需要考虑的心灵状态，其数目也是有穷的，因为所有这些状态要准备好被进入，就要求它们必须以某种方式存储于心灵之中。要为有穷性原则的这种应用做辩护，还有另外一条思路，就是指明，既然人脑作为物理客体是有穷的，那么要储存无穷多不同的状态，某些表现它们的物理现象就必须“任意地”互相接近、在结构上互相类似。这些款项要求一种无穷的分辨能力，而这与今日基本的物理原则相冲突。一个密切相关的事实是，能从任何有穷大小的物理系统中复原出的信息，其数量有一个界限。(MP 92-93)
正是在评论这段文字时，哥德尔头一次(1971年10月13日)叙述了他的人脑是与心灵相联接的计算机的思想。(见上面6.2.14)他继续说：
6.3.2 所谓有穷的心灵只能容纳纳有穷多可分辨的状态，这绝不是显而易见的。这个论题事先假定了：
(1)精神是物质；
(2)或者物理学是有穷性的，或者人脑是一台有神经元的计算机器。我有一页打印出的文字，与这个论题相关，就要发表在《辩证法》杂志上。[这无疑指后来发表于哥德尔(1990:306)的注释]
1971年11月10日，哥德尔改进了对于那两种事先假定的表述:
(1)没有与物分离之心;
(2)人脑按照量子力学工作，或者像一台有神经元的计算机。一种较弱的条件是：物理学将固守今天的这种类型，就是说，保持有限的精确性。有限的精确性可以放大，但不会改变类型。
很晚之后，大概在972年5月，哥德尔才给我了几页打印文字，让我收入Mp中。这些文字包括：
(1)他论述图灵的哲学错误那段话的修改稿；
(2)6.3.3的重新表述，作为脚注30附在我的[FSM]一段之后；
(3)对6.3.3的进一步推敲。其中(2)的内容如下：
6.3.4[哥德尔指出]这段之中的论证，就像图灵的有关论证，依赖于某些假定，它们直接关系到心灵是否能比机器多做一些事情这样一个更广泛的问题。这些假定是：
第一，没有与物质分离的心灵或精神；
第二，物理学将永远保持同样的类型，永远只有有限的精确性。(MP:102)
关于(1)和(3)的那几页非常复杂(印于MP 325-326)。我不拟完整地重述这篇文字，而打算把它分成几部分，陆续谈来。简而言之，(1)提议了一条证明心灵优于计算机的可能的进路，(3)是进一步的分析，可能受到我对[FSM]的表述的促动，它考虑在什么条件下，哥德尔所说的“图灵论证”成为有效的。(3)之复杂，一方面在于由诸条件展开的推论过程，另一方面在于哥德尔对这几个条件的合理性的正面或反面的评价。
6.3.5 那些企图得出心灵与机器的等价性的证明是错误的。图灵声称证明了每种产生整数的无穷序列的心智过程都等价于一个机械过程，这即是一个错误的例子。
6.3.6 1957年图灵(1937，250页；Davis，1965 156) 给出一个论证，想说明心智过程不会比机械过程走得更远。然而这个论证落空了，因为它依赖于这样一个假设：一个有穷的心灵只能允许有穷多种可分辨的状态。
解释 一个问题是弄清楚6.3.6中考虑的图灵论证是什么。但做这书事之前，必须先解释“心灵与机器的等价性证明”一词。在很长一段时同里，我假定它指的是对于十足等价性的证明，即证明心智可计算主义，证明心灵不能比计算机做更多的事情。既然持有这样的假定，我于是对此问题疑窦丛生，写了下面两段话：
我肯定没有如此来解释图灵的这项推理，也不相信图灵自己会想着从中得出这样强的结论。虽然他经常试图为心智可计算主义辩解，但我从没意识到他宣称他的这项特别论证是哥德尔归于他的那个结论的证明。
此外，哥德尔的言下之意是，图灵所宣称的证明结果，足以建立起对心智的可计算主义。换言之，他暗示出，为了反驳心智可计算主义，就必须有一些心智过程，它们既是系统的，又不能为任何计算机所实行。依我之见，要反驳心智可计算主义，只寻找到某些心灵可以做而计算机不能做的事情应该就足够了，没有必要诉诸系统的心智过程。无论如何，我希望能区别心灵优越性论题和存在某种不可计算的系统心智过程的特别要求。如果人们相信这两个论题是等价的，那么于我而言恐怕就需要一个对于这种等价性的明确的论证。
可是，最近我才弄明白，我先前对于“等价性证明”一词的解释，过于拘泥字义，未能捕捉到哥德尔的心思。我现在的解释是把这个语境里的“等价性证明”理解为瞄着建立心灵与机器的等价性的大体方向，或朝向这一目标的那些证明。这样解释起来，哥德尔之所以选择图灵的论证作为批驳的对象，原因在于他想在那片试图证明或否证心灵与机器的等价性的模糊领域内，找到一个鲜明的题目。再者，按照哥德尔对图灵论证的解释，这个论证(即使它是可靠的)虽然不能完全证明心智可计算主义，但沿哥德尔建议的思路所建立的反驳却可以完全驳倒心智可计算主义。
同时，哥德尔对几条熟知的信念表达了一些很强的观点，它们除开与图灵论证及哥德尔设想的反驳思路的关系之外，更有本身独立的意义。的确，我自己感觉，这些观点本身比起它们与图灵论证的联系来，更富有启发，更便于理解。MP中第326页的头一整段可以概括为四条陈述：
6.3.7 信念A没有与物分离之心，是我们时代的一种偏见；A确实将被科学地否证。
6.3.8 非常可能，B人脑基本上像一台数字计算机一样工作。
6.3.9 实践中已确定，B'物理定律，就其可观察的结果而言，在精确性上有一个有穷的界限。
6.3.10 如果我们接受A,加上B或B'，那么图灵的论证就是有效的。
我在前面第6.2节大段考虑过6.3.7，也准备在后面第6.5节中讨论6.3.8和6.3.9。困难的事情是解释和评价6.3.10。我在第6.5节中会讲到，接受6.3.9是合理的，既然如此，6.3.10的内容就不外是说,如果我们接受A或接受平行论，那么图灵的论证就是有效的，而这个论证按哥德尔的理解，说明了心智过程不能比机械过程有更多的作为。
今天绝大多数人习惯于把人脑和心灵的作用混为一谈。例如，我在[FSM]的表述中(见上引)，这种混用尽显无遗。在图灵自己的论证里，情形却不那么明显。不管怎样，似乎有必要首先弄明白什么是哥德尔所谓的图灵论证。
从6.3.6来看，哥德尔是大概是做了如下诸项判断：
6.3.11 如果(1)有穷的心灵只容许有穷多可分辨的状态，那么(2)心智过程便不能比机械过程走得更远。
6.3.12 图灵对条件(1)的论证(3)，是集中体现于如下的思想中：“我们也要假定，需要考虑的心灵状态，其数量是有穷的。个中的理由，与限制符号数量的那些理由，是如出一辙的。如果我们承认无穷多的心灵状态，那么其中一些就会‘任意地接近’，彼此不能区分”(Davis,1965 136)
哥德尔对于从(1)到(2)的推理未曾置疑，但要从(3)得到(1)，他相信必须附加一些假设，而这些假设是为他所不能接受的。的确，哥德尔自己的方案是找出一条道路，一并否证(1)和(2)。同时，他在6,3.10中注意到，一旦假设了A和B或B'，就可以从图灵的论证(3)推得(1)。如此看来，我对[FSM]的表述(见上引)，就可视为这种论证的一个概要。
还有一种思路，我们可以这样试着证明哥德尔的6.3.10。根据A,没有与人脑分离的心灵。因此，为了证明(1)，只要证明人脑只容许有穷多可分辨的状态就够了。B'中确定的精确性的有穷界限，蕴涵了在一个有穷的容积之内我们只能分辨出有穷多点。所以，既然人脑有穷，且把它看成一个物理客体，我们就只能分辨出它的有穷多的状态。考虑到这些状态必须被能由观察而分辨的脑状态所表现，那么人脑从“内部”来观察自身的时候，就没有特别的优势可言。否则人脑能分辨的状态，就比精确性的有穷界限所允许的更多。
问题是，图灵要用他的论证(3)得到结论(1)，是否必须诉诸这些附加的假设?图灵在文章开始的时候，事先用一句话概括了他对“用穷的手段可计算”的定义——(1)即是这定义的一部分——道理究竟何在：“目前我只说，道理在于这样一个事实：人的记忆必然受到限制”(Davis,1965 117)诚然，大家都倾向于承认这种限制，不管说的是脑的记忆，还是心的记忆。
在试图说明他的“原子运算”的充分性的时候，图灵确实引入了物理系统的概称。“每一个这种运算都包含了由(拟人的)计算机和其带子组成的物理系统的某种变化。如果我们知道了带子上被计算机(可能按某种特别的顺序)观察的符号序列，并且知道了计算机的心灵状态，我们就知道了该系统的状态。“(Davis,1965 136)假使我们相信有物外之心，我们也会感觉到有些可分辨的心灵状态未被充分地表现在这种物理系统里。换言之，可能有可分辨的心灵状态，就其在人脑中的物理表现而言，却是不可分辨的。
哥德尔自己反驳心智可计算主义的尝试，包括下面这些陈述(Mp325 ).
6.3.15 心灵，就其运用而言，不是静态的，而是不断发展的。
6.3.14 虽然在心灵发展的每一阶段，它的可能状态的数量是有穷的，但是，并没有理由说在它的发展过程中这种数量不会收敛到无穷。
6.3 15 可能存在系统的方法来加速、限定和唯一确定这种发展，例如，在机械过程的基础上提出适当的问题，就可以做到这些。但是，必须承认，这种过程的精确的定义要求我们对心灵的基本运作有一个根本上深化的理解。我们已经了解了对这类过程的一些含糊的定义，比如说，通过定义整数的递归良序来表达越来越大的序数的过程，还有形成越来越强的无穷性公理的过程。
顺便说一下，关于定义越来越大的序数的例子，不指名地提到图灵1939年在普林斯顿的博士论文，图灵在论文中尝试找到一个序数逻辑的序列，方法是不断地在每一阶段增加新的真命题，这些命题，根据哥德尔定理，是在序列中处于前面的那些序数逻辑里不能判定的。图灵的思想是把这些非机械的、直观的步骤作为一种限制，从而证实整数间的某些关系的确定义了越来越大的序数。
论断6.3.13似乎能被我们自己心灵活动的经验所肯定。相反，6.3.14和6.3.15却纯为猜想，我们一旦思考自己的心智状态，就会觉得它们和它们之间从一种状态到下一种状态的接续，不像图灵机或一般来讲计算机的情形那样确凿。此外，不论在个体还是在集体的意义上，我们随时间而发展。所以，比如，过去显得复杂的东西现在变得简单，往昔我们不懂的事情如今我们了然于心。在这里我们又感觉到，发展的过程不那么确定，不那么呆板机械。但是我们仍然看不出如何理顺那些模糊感觉到的差别，以使它们清晰到足以提供一个严格的证明，肯定我们在某些特定的方面的确能比计算机多有作为。哥德尔挑选的猜想(6.3.14)给人一个印象：它为澄清那些差别提供了一个精细的前景，因为有穷和无穷的区别是我们所知的、尤其在数学经验中所知的最清晰的差别之一。
但是，有穷和无穷的对比与机械和非机械的对比，这两者的关系并不简单。虽然每台计算机只有固定(有穷)多的机器状态，但对于无穷多的数，计算机原则上可以加和乘其中任意一些。处理不同的数的时候，心灵和计算机不必处于不同的状态。我认为，哥德尔关于“心灵状态的数量收敛到无穷”的说法，是一个颇为纠缠的要求，因为状态有不同的复杂度。为了在任何情形下都能数清状态的数量，我们恐怕需要一种标准来决定什么东西组成状态。比如我们可以尝试确定一个简单性的尺度，使得我们认为是计算机的可能状态的那些东西恰好是这个尺度下的简单状态。至于什么才是一个自然的和充分的尺度，我一无所知，或许除了一点：它必须蕴涵简单状态可以在物理上实现这个条件。
假设此刻某种这样的标准已经给定。我们怎样确定心灵状态的数量是否收敛到无穷呢?把所有的心智状态分解成这样的简单状态，并不是件容易的事。或许如下的办法比较简单易行：选择心灵可以做的一些事情，说明它们要求越来越多的如上规定的简单状态。如果事遂人愿，我们竟然找到某种心灵能做，但不管用多少简单状态都不能做的事情，我们当然就得到了一个心灵优于计算机的证明。然而，我们若是得不到这样强的结果，只是就(如上规定的)简单状态而言证明了6.3.14，那就不能说证明了心灵的优越性。
假定我们找到了6.3.14的证明。在这种情形里收敛到无穷只是意味着，对每一个n，存在心灵发展的某个阶段，使得此时心灵状态的数量大于n。根据假设，这些状态是适合于计算机的，因此，对于心灵发展的每个阶段，存在某个计算机，它与心灵在此阶段拥有同样的那些状态。如此看来，心灵发展的不同阶段有可能以一种可计算的方式相联系，就是说，可能存在一种超级计算机，它可以这样调整自身对于心灵发展的每一阶段，它所起的作用，就像那台与心灵在此阶段拥有同样状态的计算机。所以，对我来说，关键的问题应该不是心灵状态的数量是否收敛到无穷，而是心灵是否以一种可计算的方式发展。
关于某种心智过程超出任何机械过程的猜想，哥德尔自己对6.3.15的陈述，却似乎点出了这种猜想的含混与歧义。例如，哥德尔自己对可构成集合的定义提供了一个系统过程，从任意给定的序数a，可以定义出所有a阶或小于a阶的可构成集。这个过程不是机械的，因为可以证明我们不能按机械过程给出所有序数。同时，在我们发展的任何阶段，我们自己也不能给出所有序数。
哥德尔对于非机械的系统过程的探索，与莱布尼茨关于通用文字的思想颇有些相似之处。事实上，哥德尔在两处谈论莱布尼茨的这种想法时，也多少点明了他自己探索的目的：
6.3.16 [1972年3月15日谈话]1678平，莱布尼茨提出了通用文字。它根本不存在：任何解决所有种类问题的系统过程一定是非机械的。
6.3.17 但不必放弃希望。莱布尼茨论及characteristica universalis(通用文字)时，并没有说起一种乌托邦式的规划。如果我们信他的话，那么他已经在很大程度上发展了这种推理演算，但一直隐而不宣，等着种子落到肥沃的土地上。[参见罗素篇，CW2 140]
说起心灵优于计算机的中心问题，我们可以看到，哥德尔对图灵的哲学错误的评论，提出了三种性质来比较心灵与机器:
(1)心灵不断的发展与计算机预定的特性相对比(6.3.13);
(2)心灵状态收敛到无穷的可能性与每个计算机状态的有穷性相对比;(6.3.14);
(3)存在非机械的心智过程的可能性(6.3.15)。
这三种对比里，(1)是一个基本的事实，为进一步的探究开辟了不同的方向。猜想(2)和(3)是这些方向的两个例子。
特别的，方向(3)寻求的是，把机械过程的概念扩展到某种合适的系统过程的概念，让后者及其定义足够精确，使我们能够证明，它比任何机械过程都能完成更多的工作。然而，为了定义这样一个概念或过程，我们必须找到一个比机械性更宽泛的精确性标准。从这个角度来看，哥德尔在这里所追求的，类似于他对可证性或可定义性的一般定义的探求(有关讨论见他1946年的普林斯顿演讲，CW2 150-153)。在两个地方，他都在寻求“对于一个重要的认识论概称的绝对定义”。
有各种各样的系统过程，它们增进了我们的心智能力，但它们或者不是机械的，或者至少不是从一开始就作为机械过程提出的。比如，小数记法、对数、中学里教的代数和解析几何，等等。沿着另一种方向，我们也可以把某些研究纲领视为系统过程。参照心灵能力的许多这类成果，我们可以问一下计算机能否产生这样的过程。的确，在某些情形下，我们能够表明那些含糊定义的过程可以被机械过程所取代；在其他情形里，我们没有足够精确的刻画来判定它们是否可以被如此取代。
6.4 形式系统和可计算部分函数
哥德尔和我反复讨论的重点之一，是这样一个问题：机械过程体现在图灵机可计算的全函数上，还是部分函数上?
按定义，说f是相对机器F的可计算全函数，就要求对每个输人m，都存在一数n，使得m和n之间有一个确定的关系R。关系R体现了机器F从输入m开始到达n——也就是函数值f(m)——的计算。这个条件的形式是：对每个m，存在n，R(m，n)。‘这要求计算对每个输人m都(成功地)停止下来。‘这里有一个待解决的问题：这种普遍成功的条件是如何证明的?(在王浩1990a第2章里，就这个问题有展开的思考)
在这一点上，哥德尔观察到：
6.4.1 机械过程的精确概念，不要求这种普遍成功的条件。一种机械过程可以停止，也可以不停止。图灵的解决(分析)是正确的和唯一的。对于这个鲜明的概念，没有证明(普遍成功的条件)的问题。这个无条件的概念，不管对直觉主义者来说，还是对古典主义者来说，都是一样的。
后来，哥德尔写了一段文字细致阐发上面的看法：
6.4.2 产生部分而不是一般递归函数的图灵机清晰地给出了机械过程的精确概称。换言之，这个直观的概称不要求机械过程总归要停止或者成功。一个某些时候不成功的过程，如果定义得干净，任然是一个过程，就是说，一个很好地确定下来的行进方式。因而，我们在这里得到一个极好的例子说明一个曾经不那么鲜明的概念，在仔细推敲思考之后变得鲜明起来。用“可由图灵机执行”这个鲜明的概念定义出的机械性的概念，既是正确的又是唯一的。这个无条件的概念，现在看来相当清晰，它不论对直觉主义者，还是对古典主义者，都具有同样的意义，在这一点上，它与较复杂的永远停止的机械过程的概念截然不同。此外，如某一个人明白这个问题并且懂得图灵的定义，那么他绝对不可能判定出一个不同的概念。(Mp 84)【老蝉注：哥德尔似乎是说，图灵停机问题在形式系统内不构成对形式系统的威胁，但哥德尔认为人的思维不是形式系统所能概括的】
我提出，这些部分过程可能被认为是人工造作的，在数学上恐怕没什么意思。哥德尔回答道：
6,4.3 至少一个有趣的概念，就是说，形式系统的概念，被用一种唯一确定的方式彻底澄清了。在形式系统中，(当试图证明一个陈述时)并不要求成功。1930年(甚至1934年)的时候，我还不清楚这个概念，否则我就会用一般方式对所有的形式系统证明我的不完全性结果。
6.4.4 形式系统相当于多值图灵机。操作图灵机的人可以依据他的选择每次设定一个水平。这正是人们运用形式系统的时候所做的事。
哥德尔后来为《从数学到哲学》写了一段话，总括了上面两段内容：
6.4.5 人们或许认为，不要求普遍成功的过程在数学上没有意思，因此纯属人工造作。我想强调一下，至少又一个非常有趣的概念，被图灵机的无条件概称精确地澄清了。请看，一个形式系统不外乎就是一个产生定理的机械过程。形式系统的概念要求，恰在图灵机所澄清的意义上，用施于公式的“机械运算”完全取代推理。严格一点说，一个形式系统不是别的，正是一种在某些歩骤上容许预先确定选择范围的多值图灵机。操作图灵机的人，可以根据自己的选择，在某些阶段上设定一种尺度。这恰恰就是人们在形式系统里证明定理时所做的事。实际上，形式系统的概念在1950年还完全模糊不清。要不然我那时就会采取更一般的形式来证明我的不完全性结果。注意，引进多值图灵机，只是为了与数学家实际所做的取得一致的歩调，否则就没有必要。单值图灵机即可导出一个严格等价的形式系统概念。(MP 84)
解释 人们若想在形式系统F中证明q，可以设想q是输人。如果q是一条公理，那么它可以被识别为公理，证明结束。若是其他情形，则下一步包含了所有那些可选择的前提，从中可以根据某条推论规则推得q。比如，如果只有一条分离规则，那么对F中的每个命题P,下一步就包含p和“若p则q”。加入对某个p,p和“若p则q”都是公理，那么我们就得到F中q的一个证明。否则我们就对不是公理的命题重复上面的过程。这样下来，我们得到一个树结构。操作图灵机的人在某些阶段作出选择或“设定一个水平”。在这个意义上，一个形式系统可以被一台“多值图灵机”所代表。我们也可以通过对树的所有结点的一个枚举，引人不同阶段的所有可选择的前提的一个线性序(比如根据P的长度)。这样我们就回到了单值图灵机。
对于图灵的成功可计算(或一般递归)过程定义，哥德尔做了两点评说：
6.4.6 它在一点上而且只在一点上不精确，但起先这个概念可一点也不精确。这种不精确性与下面的问题相关：这个过程是绝对可计算的，还是能【证明】是可计算的?换句话说，普遍成功的条件是单纯为【真的】还是【可证的】(比如用直觉主义方法)?
6.4.7 可计算全函数的定义(就图灵机而言)，从客观主义观点来看，也是精确的，因为这个条件或者为真或者为假，证明它的方法是另外的问题，并不影响这个概念的精确性。
我在Mp中使用机械过程的概念，作为一个例子，试探着讨论下面这个一般性问题：“从一个模糊的直观概念人手，我们如何才能找到一个比较鲜明的概念，忠实地与它对应起来?”(MP 81)哥德尔用“鲜明”这个词取代了“比较鲜明”，断然回答说：
鲜明的概念本来就在那儿，只是我们起初没有清楚地知觉到它而已。这就像我们对一个起先在远处，后来在近处的动物的知觉一样。在图灵之前，我们没有明确地知觉到机械过程的鲜明概念，图灵给了我们恰当的视角。然后我们确实清晰地知觉到了这个鲜明的概念。(MP 84-85)
他继续就概念的知觉谈下去，谈到了“作为严格的理论的哲学”，又提出几个例子，说明我们对鲜明的概念有成功的知觉。由于这部分的讨论跟柏拉图主义关系较大，我在第7章里再处理它。
6.5 神经的和物理的可计算主义
物理可计算主义打算宣称这样的论点：物理世界像一台计算机，或者，物理过程都是些算法过程。既然我们观察世界本身的能力有限，要达到这样的论点，我们只要问(至少开始是如此)，物理定律，基于我们的观察和对它们的反思，是否现在具有而且将来继续具有算法的特性。类似地，与其问人脑是不是计算机，不如问它运作起来基本上像不像计算机来得合适。
关于神经可计算主义的问题，哥德尔似乎给予了肯定的答案(上引6.3.8 )：
6.5.1 非常可能，A人脑基本上像一台数字计算机一样工作。(MP 326)
在陈述这个猜想的上下文里，A伴随着假设B而出现。B说的是：物外无心。可是，既然哥德尔相信B是假的，并且把人脑看做与心灵相联的计算机(见上引6.2.14)，于是就出现一个问题：他是否在假设B之下陈述6.5.1?鉴于他明显不相信心灵像计算机一样工作，他可能只是在说对于那些相信B的人，6.5.1是真的。
至于物理可计算主义，哥德尔明白说出的，只是一个部分的答案(上引 6.3.9)
6.5.2 实践中已确定，C物理定律，就其可观察的结果而言，在精确性上有一个有穷的界限。(MP 326)
令D为：物理学是有穷性的。比较一下上面的6.3.2和6.3.3，可以看出，哥德尔认为C比D弱。
我们对长度、重量、温度等等物理性质的观察，不能得到完全精确的数值。因此，把物理定律推导的精确结果与我们的观察相比较的时候，我们就不得不允许某些微小的差异，比如，略去那些所谓“无关的位数”。假如把这个熟知的事实作为c的解释，那么我相信，我们能够同意哥德尔的看法，承认6.5.2为真。从这里可以推出，我们通过测量和直接观察得到的数值，都是有理数---或有穷数。
物理定律的表述和检验，最终要靠比较它们的结论和我们观察的结果，而后者的精确性有限。在某种意义上，每个(实)数和每个函数都能用可计算的数或函数任意逼近。因此，只存在于观察结果之间的被物理定律所决定的关系，都可视为可计算关系。如此看来，我们大可以把不可计算的实数和函数的使用，当做一种方便的手段，来总结和概括观察到的物理性质和关系的材料。
然而，我们知道，虽然物理定律必须符合观察材料，但它们之建立，经过了大量基于这些材料的反思和构造。因此，从C中不能得出物理定律一定是有穷性的或有算法特性的。我认为，这就是哥德尔说条件C比D弱的原因。
在我们讨论的时候，我对哥德尔把唯物主义和(在可计算主义的意义上的)机械主义等同的倾向感到迷惑不解。因为，尽我们所知，物理理论可以也可以不具有且保持算法特性。他似乎是说，C将继续成立，而且，若物外无心，则唯物主义和机械主义在可观察的结果上没有差别。
因为我经常弄不懂哥德尔的话，所以我有时连问题也提不清楚，不能让他了解我到底想知道些什么。结果，我在一些场合里，甚至搞不明白他是不是在回答我的问题。且让我尽我所能，把一些问答努力梳理得清晰一些。
我问他，为什么他相信人脑作为物理客体只能容许有穷多可分辨的状态。他回答说：
6.5 3 量子力学只是有穷性的：化学过程肯定如此；我们不了核过程——这对神经活动来说，大概无关紧要。
我问哥德尔是否可能有一种物理箱子，它的输出不是它的输入的可计算函数。我还问道，即使物理世界以可计算的方式开展，是否因为在某种意义上有一个无穷的过去，我们就不了解原初的条件，比如说，在一个固定的下界之上的地震，可以在形成一个不可计算序列的瞬间里开始。对这两个问题，哥德尔回答说，只有获得了另外一种物理学，我们才可以发现这样的命题是真的。这里的“只有”，他的意思或许是：只有我们发展出一种C在其中不再为真的物理学。
我问到一种可能性，就是将来物理学会使用更多的数学，会不会机械上不可解的问题到时在物理世界里变得可解了，物理可计算主义因而就被否证了?哥德尔的回答似乎把问题转移到我们的心智能力方面：
6.5.4 在物理学里，我们不太可能走到实数之外，更不会越出集合论。理性乐观主义也期望我们能解决所有数学领城里有趣的问题。说物理学在其设想的完全成熟阶段会使用全部数学，并非言之成理。此外，在每个阶段，物理学如果要一成不变地保持真实的话，它就要表达在一个给定的水平上，因此它不能使用全部数学。[哥德尔似乎认为我们可能在某个阶段得到确定的物理定律，并把这与数学发展的开放性相比较。他在另一个地方说:]核力也许要求全部的数学；数学深奥的部分那时或者会被带回科学研究的主流之中。
哥德尔把心灵理想化为一个个体的心灵(6,1.23)，我却认为想象永远延续的人种比想象这样一个单独的人心要容易一些，并且我们也可以想象越来越大的机器被造出来；那么整个机器种族就有可能比任何一台单独的机器都能做更多的事情。哥德尔评论道：
6.5.5 这样一种事态说明存在某种非机械的东西，就是说机器历史发展的全盘计划不是机械的。如果这个一般的计划是机械的,那么整个种族就能被概括进一台机器。
我还提过一个常见的问题：机器人能不能通过彼此之间及其与环境间的相互作用而成长，从而以一种不可计算的方式做事?哥德尔回答说：
6,5.6 一台有限大小的物理机器永远不能做任何不可计算的事情；不排除它能长得越来越大。这是因为机器是我们制造并且完全理解的东西——包括理解它们的成长方式。
在我看来，这个答案恐怕依赖于6.5.2中哥德尔的信念c,甚至可能依赖于物理学现在和将来都保持算法特性的假设。否则机器人就可以通过与物理环境的相互作用而不可计算地行事，而且我们能够借助于合适的、非算法的物理定律来了解这一点。鉴于这些观察和哥德尔关于人脑像计算机一样工作的断言至今未解。
6.5.7 要打消图灵的结论，我们并不需要分离的心灵，如果我们允许个体的脑长得越来越大的话。
一种解释依赖于“分离的心灵”这个短语的歧义。就像我前面引述的，对哥德尔来说，人脑是与心灵相联接的计算机。如果联接之后，心灵在某种合适的意义上并不是分离的，那么当脑逐渐长大的时候，它可以通过与心灵的联接而获取力量，结果它就不同于逐渐生长的物理机器，而能够不可计算地行事。另一方面，也可能哥德尔此处的“图灵的结论”指的是这个命题：心或脑只能有有穷多种可分辨的状态。果然如此，则脑或任何物理客体不受限制地长大的时候，它的可分辨状态的数量就有持续增长的余地，任何一个有穷的上界都会被突破。
本章主要的部分，是研究心智可计算主义的问题，尤其是那些尝试证明心灵胜过计算机的企图。文献中大部分的讨论，因为隐然假设了心理神经平行论，所以在心智的和神经的可计算主义之间未作区分，这就让人在两者之间可以来回游移。对于本章涉及的许多要点，我(王浩，1993)提供了更多的细节。