[回溯算法] 五大常用算法之回溯法

转载自：https://blog.csdn.net/weiyuefei/article/details/79316653

算法入门6：回溯法

 

一. 回溯法 – 深度优先搜素                       

 

1. 简单概述

 

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

 

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

 

      【

         分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                                二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

//针对N叉树的递归回溯方法  
void backtrack (int t)  
{  
    if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解  
    else  
       for i = 1 to k//当前节点的所有子节点  
        {  
            x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x  
            //满足约束条件和限界条件  
          if (constraint(t)&&bound(t))   
                backtrack(t+1);  //递归下一层  
        }  
}  

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

//针对N叉树的迭代回溯方法  
void iterativeBacktrack ()  
{  
    int t=1;  
    while (t>0) {  
        if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
        {  
            for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
            {  
                x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x  
                if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件   
                {  
                    //solution表示在节点t处得到了一个解  
                    if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出  
                    else t++;//没有得到解，继续向下搜索  
                }  
            }  
        }  
        else //不存在子节点，返回上一层  
        {  
            t--;  
        }  
    }  
}  

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

 

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

void backtrack (int t)  
{  
  if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=0;i<=1;i++) {  
        x[t]=i;  
        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
      }  
}  

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

void backtrack (int t)  
{  
  if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=t;i<=n;i++) {  
        swap(x[t], x[i]);  
        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
        swap(x[t], x[i]);  
      }  
}   

四. 经典问题                                    

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

代码：

#include   
   
#define N 3         //物品的数量  
#define C 16        //背包的容量  
   
int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量  
int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值  
int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  
   
int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量  
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值  
   
int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0  
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  
   
//t = 0 to N-1  
void backtrack(int t)  
{  
    //叶子节点，输出结果  
    if(t>N-1)   
    {  
        //如果找到了一个更优的解  
        if(CurValue>BestValue)  
        {  
            //保存更优的值和解  
            BestValue = CurValue;  
            for(int i=0;i

2. 旅行售货员问题

      回溯法----旅行售货员问题

 

 

3. 详细描述N皇后问题

       问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

       N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

      分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

      使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

      全局变量way表示总共的摆放方法数目。

      使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆   放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

       Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

       代码：

/************************************************************************  
 * 名  称：NQueen.cpp 
 * 功  能：回溯算法实例：N皇后问题  
 * 作  者：JarvisChu  
 * 时  间：2013-11-13  
 ************************************************************************/   
   
#include   
   
#define N 8  
   
int Board[N][N];//棋盘 0表示空白 1表示有皇后  
int way;//摆放的方法数  
   
   
//判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以  
int Feasible(int row,int col)  
{  
    //位置不合法  
    if(row>N || row<0 || col >N || col<0)  
        return 0;  
   
    //该位置已经有皇后了，不能  
    if(Board[row][col] != 0)  
    {   //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率  
        return 0;  
    }  
   
    //////////////////////////////////////////////////  
    //下面判断是否和已有的冲突  
   
    //行和列是否冲突  
    for(int i=0;i=0 && (col-i)>=0)    //位置合法  
        {  
            if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突  
                return 0;  
        }  
   
        //左下角  
        if((row+i)=0)  
        {  
            if(Board[row+i][col-i] != 0)  
                return 0;  
        }  
   
        //右上角  
        if((row-i)>=0 && (col+i)N)  
    {  
        way++;  
        /*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果 
        for(int i=0;i

PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。

 

4. 迷宫问题

        问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径

        分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。

        N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；

        Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)

       (ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标

       (EXIT_X, EXIT _Y)    是迷宫出口的坐标

       Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径

       BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径

 

       Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：

       1. 首先将当前点加入路径，并设置为已走
       2. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4
       3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点
       4. 当前点推出路径，设置为可走

       代码：

/************************************************************************  
 * 名  称：Maze.cpp 
 * 功  能：回溯算法实例：迷宫问题 
 * 作  者：JarvisChu  
 * 时  间：2013-11-13  
 ************************************************************************/   
#include   
#include   
   
using namespace std;  
   
typedef struct  
{  
    int x;  
    int y;  
}Point;  
   
#define N 10         //迷宫的大小  
#define ENTER_X 0    //入口的位置（0，0）  
#define ENTER_Y 0  
#define EXIT_X N-1   //出口的位置(N-1,N-1)  
#define EXIT_Y N-1   
   
   
int Maze[N][N];      //定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走）  
int paths;       //路径条数  
vector Path;    //保存一条可通的路径  
vector BestPath;    //保存最短的路径  
   
bool First = true;   //标志，找到第一条路径  
   
//初始化迷宫  
void InitMaze()  
{  
 //简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫  
 //定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走)  
    int mz[10][10]={  
    {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0  
    {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1  
    {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2  
    {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3  
    {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4  
    {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5  
    {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6  
    {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7  
    {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8  
    {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9  
    //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
    };   
   
    //复制到迷宫  
    memcpy(Maze,mz,sizeof(mz));  
   
    paths = 0;  
}  
   
//从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)  
void MazeTrack(int x,int y)  
{  
    ///////////////////////////////////////  
    //当前点加入到路径  
    Point p={x,y};  
    Path.push_back(p);  
    Maze[x][y] = 1;         //设置为已走，不可走  
   
    //cout<<"来到("<::iterator it;  
        for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)  
        {  
            cout<<"("<x<<","<y<<") ";  
        }  
        cout<=0 && Maze[x-1][y]==0)//上(x-1,y)；存在且可走  
    {  
        MazeTrack(x-1,y);  
    }  
   
    if((x+1)=0 && Maze[x][y-1]==0)//左(x,y-1)；存在且可走  
    {  
        MazeTrack(x,y-1);  
    }  
   
    if((y+1)::iterator it;  
    for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it)  
    {  
        cout<<"("<x<<","<y<<") ";  
    }  
    cout<

PS：用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道，红色表示墙，最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路，右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂，所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现，至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。

实现的大致思路如下：迷宫的数据使用二维数据mazeData表示。迷宫的显示使用Grid控件表示，每个方格处添加一个Rectangle控件，如果该方格mazeData值为0，则填充白色值为1，则填充红色，值为2则填充黄色。

XAML代码为：

  
      
          
              
              
              
          
          
          
              
              
          
          
          
            迷宫的动态演示  
          
          
          
              
          
  
          
              
          
          
          
   
              
                  
                      
                          
                              
                              
                              
                          
                          
                              
                              
                          
                          
                          
                          
                          
                                                                     
                          
                              
                              
                              
                              
                          
  
                          
                              
                              
                              
                              
                          
  
                          
                              
                              
                              
                              
                          
                      
                      
                  
                  
                      
                          
                          
                              
                              
                              
                          
                      
                  
              
          
          
          
              
              
          
      
  

对应的MainWindow.xaml.cs代码为：

using System;  
using System.Collections.Generic;  
using System.Linq;  
using System.Text;  
using System.Windows;  
using System.Windows.Controls;  
using System.Windows.Data;  
using System.Windows.Documents;  
using System.Windows.Input;  
using System.Windows.Media;  
using System.Windows.Media.Imaging;  
using System.Windows.Navigation;  
using System.Windows.Shapes;  
  
namespace MazeAnimation  
{  
  
  
  
    /// 
  
    /// Interaction logic for MainWindow.xaml  
    /// 
  
    public partial class MainWindow : Window  
    {  
        public struct Point  
        {  
            public int x;  
            public int y;  
            public Point(int a, int b) { x = a; y = b; }  
        };  
  
        public bool bAutoRun = true;  
        public int mazeHeight = 10;  
        public int mazeWidth = 10;  
  
        int[,] mazeData = new int[10, 10]  
            {  
                {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0  
                {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1  
                {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2  
                {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3  
                {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4  
                {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5  
                {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6  
                {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7  
                {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8  
                {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9  
            //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
            };  
  
        public int enterX = 0;  
        public int enterY = 0;  
        public int exitX = 9;  
        public int exitY = 9;  
        public int runSpeed = 100;  
  
        public int paths = 0; //总条数  
        public Stack path = new Stack(); //一条找到的路径  
        public Stack bestPath = new Stack();//最优路径  
        public bool bFrist = true;  
  
  
        public MainWindow()  
        {  
            InitializeComponent();  
        }  
  
        //显示迷宫，白色0表示通道，红色1表示不可走，黄色2表示最优的路径，绿色3表示已经走过的路径  
        private void DisplayMaze()  
        {  
            gdMaze.Children.Clear();  
            //设置可走和不可走  
            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)  
            {  
                for (int j = 0; j < mazeWidth; j++)  
                {  
                    Rectangle rect = new Rectangle();  
                    rect.SetValue(Grid.RowProperty, i);  
                    rect.SetValue(Grid.ColumnProperty, j);  
  
                    if (mazeData[i, j] == 0)  
                    {  
                        rect.Fill = Brushes.White;  
                    }  
                    else if (mazeData[i, j] == 1)  
                    {  
                        rect.Fill = Brushes.Red;  
                    }  
                    else if (mazeData[i, j] == 2)  
                    {  
                        rect.Fill = Brushes.Yellow;  
                    }  
                    else if (mazeData[i, j] == 3)  
                    {  
                        rect.Fill = Brushes.Blue;  
                    }  
                    gdMaze.Children.Add(rect);  
                }  
            }  
        }  
  
        //初始化迷宫  
        private void InitMaze()  
        {  
  
            gdMaze.Background = Brushes.LightGray;  
            gdMaze.ShowGridLines = true;  
  
            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)  
            {  
                gdMaze.RowDefinitions.Add(new RowDefinition());  
            }  
  
            for (int i = 0; i < mazeWidth; i++)  
            {  
                gdMaze.ColumnDefinitions.Add(new ColumnDefinition());  
            }  
  
            DisplayMaze();  
        }  
  
        //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)  
        private void MazeTrack(int x, int y)  
        {  
            ///////////////////////////////////////  
            //当前点加入到路径  
            Point p = new Point(x, y);  
            path.Push(p);  
  
            mazeData[x, y] = 3;         //设置为已走，不可走             
            //DisplayMaze();  
            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠  
  
  
            ///////////////////////////////////////  
            //如果该位置是出口，输出结果  
            if (x == exitX && y == exitY)  
            {  
                string msg = "找到一条道路(逆序)\n";  
                tbLog.AppendText(msg);  
  
                paths++;  
  
                //输出路径  
                foreach (Point pnt in path)  
                {  
                    msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";  
                    tbLog.AppendText(msg);  
                }  
                tbLog.AppendText("\n\n");  
  
                //判断是否更优  
                if (bFrist)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径  
                {  
                    foreach (Point pnt in path)  
                    {  
                        bestPath.Push(pnt);  
                    }  
  
                    bFrist = false;  
                }  
                else //不是第一条，则判断是否更短  
                {  
                    //更短，复制到最优路径  
                    if (path.Count < bestPath.Count)  
                    {  
                        bestPath.Clear();  
                        foreach (Point pnt in path)  
                        {  
                            bestPath.Push(pnt);  
                        }  
                    }  
                }  
            }  
  
            ///////////////////////////////////////  
            //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走  
  
            if ((x - 1) >= 0 && mazeData[x - 1, y] == 0)//上(x-1,y)；存在且可走  
            {  
                MazeTrack(x - 1, y);  
            }  
  
            if ((x + 1) < mazeHeight && mazeData[x + 1, y] == 0)//下(x+1,y)；存在且可走  
            {  
                MazeTrack(x + 1, y);  
            }  
  
            if ((y - 1) >= 0 && mazeData[x, y - 1] == 0)//左(x,y-1)；存在且可走  
            {  
                MazeTrack(x, y - 1);  
            }  
  
            if ((y + 1) < mazeWidth && mazeData[x, y + 1] == 0)//右(x,y+1)；存在且可走  
            {  
                MazeTrack(x, y + 1);  
            }  
  
            ///////////////////////////////////////  
            //返回上一步  
            path.Pop();  
            mazeData[x, y] = 0;         //设置为未走  
  
            //DisplayMaze();  
            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠  
        }  
  
  
        private void Window_Loaded(object sender, RoutedEventArgs e)  
        {  
            //初始化变量  
            tbMazeHeight.Text = mazeHeight.ToString();  
            tbMazeWidth.Text = mazeWidth.ToString();  
            tbEnterX.Text = enterX.ToString();  
            tbEnterY.Text = enterY.ToString();  
            tbExitX.Text = exitX.ToString();  
            tbExitY.Text = exitY.ToString();  
  
            cbAutoRun.IsChecked = bAutoRun;  
            tbAutoRunSpeed.Text = runSpeed.ToString();  
  
            //初始化迷宫  
            InitMaze();  
        }  
  
        //点击开始  
        private void btnStart_Click(object sender, RoutedEventArgs e)  
        {  
            string msg = "开始走迷宫\n";  
            tbLog.AppendText(msg);  
            MazeTrack(enterX, enterY);  
  
            //显示最优的路径  
            msg = "\n可行路径总条数为" + paths + "\n最优路径为\n";  
            tbLog.AppendText(msg);  
  
            foreach (Point pnt in bestPath)  
            {  
                msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";  
                tbLog.AppendText(msg);  
  
                mazeData[pnt.x, pnt.y] = 2;  
  
            }  
            DisplayMaze();  
        }  
  
        //下一步  
        private void btnNext_Click(object sender, RoutedEventArgs e)  
        {  
            string msg = "手动开始走迷宫 暂未实现\n";  
            tbLog.AppendText(msg);  
        }  
  
    }  
}  

参考文献： 《计算机算法设计与分析》（王晓东）

 

 

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.net/jarvischu