2019年 第10届山东ACM省赛 K - Happy Equation（数论）

记不太清楚了 - - 按着当时比赛的思路写吧……
先把 $a$ 拆开表示成 $a=2^q\ast k$，然后考虑 $a^x\%2^p=(2^q\ast k{)}^x\%2^p=(2^{q\ast x}\ast k^x)\%2^p$，那么我们可以分情况讨论一下。
第一种情况，$(2^{q\ast x}\ast k^x)\%2^p=0$ 即 $p\le q\ast x$，$\lceil \frac{p}{q}\rceil \le x$，此时 $x^a\%2^p=0$ 也是成立的，设 $x=2^m\ast l$ 那么就是要有 $2^p\le 2^{m\ast a}$ 即 $\lceil \frac{p}{a}\rceil \le m$，因为要求出所有满足题意的 $x$ 的个数，那么 $m$ 取最小 $\lceil \frac{p}{a}\rceil$，根据 $x$ 的取值范围 $[1,2^p]$ 还有刚才求出来的 $\lceil \frac{p}{q}\rceil \le x$ 可以知道 $x$ 取 $[\lceil \frac{p}{q}\rceil ,2^p]$ 中所有 $2^m$ 的倍数，这一部分的答案个数就是 $\frac{2^p}{2^m}-\frac{\lceil \frac{p}{q}\rceil }{2^m}+[\lceil \frac{p}{q}\rceil \%2^m==0]$。
第二部分是 $(2^{q\ast x}\ast k^x)\%2^p!=0$ 即 $x\ast q<p$，由于 $p$ 很小直接 for 循环特判 $a^x\%2^p$ 和 $x^a\%2^p$ 即可。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 31;

ll ar[maxn];

void init ()
{
    ar[0] = 1;
    for (int i = 1; i < maxn; ++i) {
        ar[i] = 2*ar[i-1];
    }
}

ll qm (ll a, ll b, ll mod)
{
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b&1) {
            res = res*a%mod;
        }
        a = a*a%mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main ()
{
    init();
    int t, a, p;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d %d", &a, &p);
        int q = 0, v = a;
        while (v % 2 == 0) {
            v /= 2;
            ++q;
        }
        if (q == 0) {
            cout << 1 << '\n';
            continue;
        }
        int bgn = (p%q)?p/q+1:p/q;
        int tmp = (p%a)?p/a+1:p/a;;
        ll res = ar[p]/ar[tmp]-bgn/ar[tmp]+(bgn%ar[tmp]==0);
        for (int x = 1; x*q < p; ++x) {
            if (qm(a, x, ar[p]) == qm(x, a, ar[p])) {
                ++res;
            }
        }
        cout << res << '\n';
    }
    return 0;
}