目标跟踪综述：《Machine Learning Methods for Solving Assignment Problems in Multi-Target Tracking》

引言

多目标跟踪的主要任务是给定一个图像序列，找到图像序列中运动的物体，并将不同帧的物体一一对应，给出不同物体的运动轨迹。应用场景包括行人检测，交通监控，自动驾驶等。
多目标跟踪问题在关键在于数据关联(data association)和轨迹间关联问题(track-to-track association)。数据关联指的是对一组新检测结果与已存在目标轨迹进行匹配。当有多个传感器时，需要处理轨迹间关联问题。我们需要对来自不同传感器的相同目标进行匹配。

问题表达

2.1 Linear Assignment

问题描述：在$k$时刻有$m$个已知轨迹（track）和$n$个检测结果（detection, measurement）其中$k=1,...,T$。假设有一个矩阵$C_k\in R^{m\times n}$，元素$c_k^{ij}\in C$表示在$k$时刻将第$j$个measurement与第$i$个track进行匹配的成本。用二元变量$x^{ij}\in \{0,1\}$表示是否分配。问题的目标是找到最优匹配使总成本最小。

$$\underset{x\in X}{\min }\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_k^{ij}{x}^{ij}$$
with constraints
$$\sum _{i=1}^m{x}^{ij},j=1,...,n$$
$$\sum _{j=1}^n{x}^{ij},j=1,...,m$$
约束条件说明measurement与track间只能唯一匹配。
最常用的算法是Hungarian (匈牙利算法），复杂度为$O(n^3)$。对于目标跟踪问题，LA只考虑前一时刻的measurement数据关联，优点是速度快，可实现实时跟踪算法，问题是对于堵塞，误检，漏检等情况表现不行。一个可行的方法是设置时间上的滑动窗口，关联时延时决策，使用多个时刻的measurement信息。问题变换为下面要说明的问题。

2.2 Multidimensional Assignment

问题描述： $T$为时间窗口，$Z^T=\{Z_1,Z_2,....,Z_T\}$为不同时刻的measurements组成的集合，目标是找到一个该集合的划分使总成本最小。

$M_k$：$k$时刻mesurements总个数
$c_{i_1,i_2,...,i_T}$：不同时刻的measurements串成一条轨迹的成本
$\rho$：相应二元决策变量
注意：其它论文中$i_1,i_2,...,i_T$从0开始，为0时说明选择的measurement为假。因为个个时刻的measurement个数可能不等。
说明一下第一个约束等式，等式中$i_1$不变，指第1个时刻时的任意measurement都只与一个track匹配。其它约束等式相同。

2.3 Assignment Costs

计算Cost 矩阵

2.3.1 Kinematic Costs

基于概率计算cost

串成真轨迹和假轨迹概率之比。检测的measurement不一定为真，存在一个真假的概率分布，分子是measurement为真且串成轨迹的概率，分母是假轨迹概率。
：第k个时刻目标状态的measurement为$z_k^i$的概率
：第j个轨迹k时刻的状态为$x_k$的概率。

优化

由于该问题为NP-Hard问题，我们需要设计算法近似求解最优值。

3.1 最大权重独立集问题

独立集指图顶点的一个子集，满足任意两点间没有边连接，两个问题等价，不过要将cost转换为track score。证明可查阅《The Maximum Weight Independent Set Problem for Data Association in Multiple》。

$Z_{0,0,2,2}$说明四个时刻分别将1时刻第0个measurement,2时刻第0个measurement。。。串成一个轨迹，与第4个轨迹后两个选择冲突，也与6最后一个冲突。

3.2 贪婪随机搜索

参考论文《Multiple object video tracking using GRASP-MHT》。

3.2.1 TOMHT Framework

记k时的measurements为$Z(k)=\{z_i^k{\}}_{i=0}^{M_k},k=1,2,...,N,N$为扫描次数或滑动窗口大小，$z_i^k$为k时第$i$个measurement，$z_0^k$记为可能的漏检。一个track hypothesis 轨迹假设由一组mesurements组成：
$$T_j^k=(z_{j_1}^1,z_{j_2}^2,...,z_{j_n}^n,...,z_{j_k}^k),j_n\in Z(n)$$如果track $T_j^{k-1}$与measuremetn$z_i^k$关联，则轨迹得分 track score 的增量为
$$\Delta L_{ij}^i=\{\begin{array}{ll}log(\frac{p(z_i^k|T_j^{k-1})P_D}{{\lambda }_{\varphi }+{\lambda }_{\upsilon }})& i̸=0\\ log(1-P_D)& i=0\end{array}$$

则$T_j^k$的track sorce 为增量总和：
$$L(T_j^k)=\sum _{i=j_1}^{j_k}\Delta L_{ij}^k$$
当两个track不共享正确检测则它们互相兼容。一个全局假设global hypothesis 为互相兼容的track组成的集合。则假设$H_i^k$的score为其中包含的所有tracks scores之和：
$$L(H_i^k)=\sum _{T_j^k\in H_i^k}L(T_j^k)$$
在枚举所有$J$个假设后，特定假设发生概率为：
$$P\{H_i^k\}=\frac{\exp (L(H_i^k))}{1+{\sum }_{j=1}^J\exp (L(H_i^k))}$$
track $T_j^k$的概率为：
$$P\{T_j^k\}=\sum _{T_j^k\in H_i^k}P\{H_i^k\}$$
计算复杂度太高：
Gate 方法，只考虑满足不等式的measurement
$$[z_i^k-z_j^{k|k-1}{]}^T{S}^{-1}[z_i^k-z_j^{k|k-1}]\le {\eta }^2$$
$z_j^{k|k-1}$为先验预测，$S$为$[z_i^k-z_j^{k|k-1}]$的协方差。

3.2.2 GRASP for the Hypothesis Enumeration

在有限次数计算内找出次优解，计算最大权重独立集问题。

搜索算法

每次计算构造一个可行解，再本地搜索返回一个更优解。

可行解的构造

将图顶点按贪心策略排序：greedy function

$N^{+}(v_i)$为与$v_i$相邻的点和自己本身组成的集合，每次贪心选点时维护一个候选列表condidate list 满足条件：

$g_{max}$为剩余点的greed function最大值。在初始化选点是，先排序

选择一对不相连且greedy function 值之和最大的顶点对，初始化后从候选列表中随机抽取一个顶点。

本地搜索

无向图的最大团=该补图的最大独立集

3.3 网络流方法

参考论文《Global Data Association for Multi-Object Tracking Using Network Flows》，《Multi-target Tracking by Lagrangian Relaxation to Min-Cost Network Flow》