算法与数据结构(十八):硬币找零问题总结

一、 01硬币找零问题(01背包)

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币最多选择一次。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

状态表示

  • f[i][j] 表示只看前 i 个物品,总价值是 j 的情况下的最小硬币数目。
    状态转移

  • f[i, j] = min(f[i-1, j], f[i-1, j-ci] + 1) 分别对应了不拿和拿第 i 个硬币两种情况。

  • 因为 f[i, j] 只和上一层的两个状态有关,所以可以将状态优化为一维数组。

    f[j] = min(f[j], f[j-ci] + 1)

    因为 j-ci < j,所以如果从小到大枚举金额的话,j-ci 已经变成了第 i 层的状态。

    所以这一步可以从大到小枚举金额,确保计算到 j 时,j-ci 还是上一层的状态。

边界情况

  • f[0] = 0 表示凑出金额为0的最小个数是0个。

  • 初始化,因为题目要求的是恰好凑到金额m,所以状态要初始化为 inf 因为有些状态可能达不到.

def func_2(coins, m):
    f = [float('inf')] * (m + 1)
    f[0] = 0
    for c in coins:  # 枚举硬币总数
        for j in range(m, c-1, -1):  # 从大到小枚举金额,确保j-c >= 0.
            f[j] = min(f[j], f[j - c] + 1)
    return f[m] if f[m] != float('inf') else -1  # 如果为inf说明状态不可达,返回-1即可。

二、完全硬币找零问题(完全背包)

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币可以选择无数次。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

状态表示

  • f[i][j] 为考虑前 i 种硬币,凑出金额为 j 的最少数目。

状态转移

  • 考第 i 种硬币,我们可以不拿,或者拿 1...k 个,直到把金额拿爆。

  • f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i-1][j-c]+1, f[i-1][j-2*c]+2, ..., f[i-1][j-k*c]+k)

  • 又因为其中包含了大量的冗余计算

    例如:f[i][j-c] = min(f[i-1][j-c], f[i-1][j-2*c]+1, ..., f[i-1][j-k*c]+k-1)

  • 两者合并得到:f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i][j-c]+1)

    又因为 f[i][j] 只和上一层一个状态 (f[i-1]f[j]) 和这一层的一个状态 (f[i][j-c]+1) 有关。可以将状态优化为一维数组。

  • f[j] = min(f[j], f[j-c]+1)

    因为金额从小到大枚举,j-c < j,所以计算 j 时, j-c 的状态已经在这一层计算好了,可以直接替换。这里与01背包问题相反。

边界情况

  • f[0] = 0 表示金额为 0 时,最小硬币凑法为 0;
  • 其余要初始化为 inf,因为此题要求的是恰好金额为m时的最小硬币数,所以有些状态可能达不到。
  class Solution:
      def coinChange(self, coins, m):
          f = [float('inf')]*(m+1)
          f[0] = 0
          for c in coins:  # 枚举硬币种数
              for j in range(c, m+1):  # 从小到大枚举金额,确保j-c >= 0.
                      f[j] = min(f[j], f[j - c] + 1)
          return f[m] if f[m] != float('inf') else -1  # 如果为inf说明状态不可达,返回-1即可。

可以看到,此题解法与**01问题解法几乎完全相同!!!**只是枚举金额时变为由小到大了。

三、多重硬币找零问题(多重背包)

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币选择的次数有限制为 s。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

状态表示

  • 这里和完全硬币问题的的初始状态表态表示很相似。
  • 考第i种硬币,我们可以不拿,或者拿1…k个,直到拿到个数的限制。
  • f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i-1][j-c]+1, f[i-1][j-2*c]+2, ..., f[i-1][j-k*c]+k)

所以在01问题的代码的基础上添加一层枚举硬币个数的循环即可

这里可以使用二进制优化,转化为01背包问题求解。这里不扩展了。

def func_3(coins, m, s):
    f = [float('inf')] * (m + 1)
    f[0] = 0
    for i in range(len(coins)):
        for j in range(m, coins[i]-1, -1):
            for k in range(1, s[i]+1):  # 枚举每个硬币的个数 [1, s[i]]
                if j >= k*coins[i]:  # 确保不超过金额 j
                    f[j] = min(f[j], f[j - k*coins[i]] + k)
    print(f)
    return -1 if f[m] > m else f[m]

参考文献:

[1] https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/solution/yong-bei-bao-wen-ti-si-xiang-lai-li-jie-ying-bi-zh/

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