【组合数学】卡特兰数总结

卡特兰数

问题：

n对括号有多少种合法的匹配方式？（卡特兰数的常见应用之一）

结论：

对于n对括号，合法的排列共有C（n,2n）-C（n+1,2n）

基本思路：

考虑n对括号，有n个（和n个），对于任意一个）其前面必定有一个（跟他对应，如果没有则是非法序列。也就是说，对于），其前面的（的数量必须大于等于）的数量。假设（=1，）=-1。合法的序列是 1 -11 -1 1 -1，不合法的序列是1 -1 -1 1 1 -1。n对括号的全排列数为C（n，2n），减掉那些不合法的排列数就得到了合法的排列数，那么不合法的排列数怎么得到呢？观察上面不合法的序列1 -1 -1 1 1 -1，从第3个数开始，）的个数比（大1，因此，后面的(的个数也会比)大1。我们把1到3的数翻转一下，变成-1 1 1 1 1 -1，得到一个有n+1个1，n-1个-1的序列。这样的序列总共有C（n-1，2n）或者C（n+1,2n）种，

我们可以得出这样一个结论：对于所有有n+1个1，n-1个-1的序列，都存在一个转折点k，在k之前1的数量比-1的数量大1，在k之后1的数量比-1的数量大1。我们只需要从第1个到第k个元素翻转回去，就能变成对于有n个1，n个-1的情况下的非法排列。因此我们可以得到非法排列的个数为C（n，2n）-C（n+1，2n）。

 

 

卡特兰数公式

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... +h(n-1)*h(0) (n>=2)

另类递推式[2]：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

可以利用卡特兰数解决的常见问题：

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？

圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

  ……

求卡特兰数的代码：

#include 
#include
int a[105][1000];//大数运算 
int b[105]; //储存对应卡特兰数有多少位 
void catalan() //求卡特兰数
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}

int main() {
	catalan();
	for(int i=1;i<=100;i++)
	{
		for(int j=b[i]-1;j>=0;j--)
		{
			printf("%d",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}