置信区间(confidence interval)

上一篇关于假设检验和P值的文章最后提到了置信区间，本篇文章对置信区间的相关知识进行说明。所谓的置信区间，顾名思义，它实际上就是一种区间估计，首先来看看什么是点估计，什么是区间估计。

首先声明，此篇的内容是来自"马同学高等数学"微信公众号的内容。

1、点估计与区间估计

以前很流行一种刮刮卡：

                                              

游戏规则是（假设只有一个大奖）：

• 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上

• 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖：

• 点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖

• 区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。

接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

2、置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

2.1、上帝视角

对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。

假设人类的身高分布服从如下正态分布():             

也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示：            

                              

2.2、点估计

作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计：

                                          

比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作  ）画在图上（蓝色的点）：

                                         

就是对的一次点估计，通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计：

                           

如果我们关闭上帝视角，我们分辨不出哪个点估计更好：

                          

此时，置信区间就闪亮登场了。

2.3、置信区间

置信区间，提供了一种区间估计的方法。下面采用 95% 置信区间来构造区间估计（什么是 95% 置信区间，这个我们后面解释）：

                              

通过 95% 置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的  ，除了红色的那根。

关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好：

                            

但是，和点估计比较：

• 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好

• 但是，按照 95% 置信区间构造出来的区间，如果我构造出100个这样的区间，其中大约有95个会包含  

这就好像用渔网捞鱼，我知道一百次网下去，大约会有95次网到我想要的鱼，但是我并不知道是不是现在这一网：

                             

剩下的问题就是 95% 置信区间是如何构造的。

3、95%置信区间

假设人群的身高服从：           其中未知，已知。我们不断对人群进行采样，样本的大小为 n ，样本的均值：

                                                                

根据大数定律和中心极限定律， M 服从：   

                                                            

我们可以算出以   为中心，面积为0.95的区间，如下图：

                                    

即：

                                                        

也就是， M 有 95% 的几率落入此区间：

                          

我们以  为半径做区间，就构造出了 95% 置信区间。按这样构造的100个区间，其中大约有95个会包含：

 

                              

那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的  是多少。我们就只有用  来代替  ：

                                             

总结一下：

• 置信区间要求估计量是个常数

•  95% 也被称为置信水平，是统计中的一个习惯，可以根据应用进行调整

参考文献：

如何理解置信区间                  https://mp.weixin.qq.com/s/MWhhOmsVm7tLwXKyUho6fA