PNP问题学习笔记1

PNP问题简介

PNP(Perspective N Points)问题首先于1981年由Fishler和Bolles提出，类似的问题可以追溯到1841年摄影测量学领域。所谓PNP问题，就是指如下的物体定位问题:假定摄像机为小孔模型且已标定好，摄取一幅在物体坐标系下坐标已知的N个空间点的像，且这N个图像点的坐标已知,确定这N个空间点在摄像机坐标系下的坐标。

文献中对于PNP问题的求解方法一般有两种途径.第一种途径是确定空间点到摄像机光心的距离。由于摄像机已经标定好且图像点的坐标已知，所以空间点在摄像机坐标系下的投影方向可以通过图像坐标求出。

            对P3P问题而言，空间点A,B,C与摄像机光心O的连线的方向在摄像机坐标系下的坐标是可以计算的，问题是要求出光心O到A,B,C点间的距离dA,dB,dC。

P3P问题的基本约束方程为：

在方程组(1)中，DAB,DBC,DAC是空间点A,B,C之间的距离。由于空间点的坐标假定已知，故这些量是已知量。可以通过图像点坐标和摄像机的内参数求得。所以。方程组中仅有的未知数是dA,dB,dc.求解PNP问题的另一种途径是确定物体坐标系到摄像机坐标系之间的旋转矩阵R和平移向量t，即：

                                                                               

式中Xc和Xw分别为同一空间点在摄像机坐标系下和物体坐标系下的坐标。所以，PNP问题同样可以定义为给定从三维空间到二维图像空间的N对对应点。很显然,如果R和t已知，且已知某空间点在物体坐标系下的坐标，就可以求得其在摄像机坐标系下的坐标。

利用第一种途径求解PNP问题的困难在于约束方程组中有未知数的平方项，不易获得解析解。利用第二种途径求解PNP问题的困难在于R矩阵是一个旋转矩阵，它只有3个独立变量，其中元素间的约束不易实现。

 PNP问题的研究现状

 当N≥6时，PNP问题成为经典的DLT(Direct Linear Transformation   直接线性变换)问题，此时(R,t)均可解，因此研究N≥6的PNP问题已没有多大意义。

对于N=3时的P3P问题，文献中已研究得比较透彻。主要结论是：当N=3及A,B,C三点决定的平面不通过光心O时，方程组最多有4组解且解的上限可以达到。当N=4时，如果4个空间点共面，则解是唯一的；如果4个空间点不共面，可能出现多个解。

Harallic指出如果4个空间点是一个长方形的4个顶点，尽管该长方形的长和宽未知，但旋转矩阵R仍可以求得。

Penna指出已知空间共面4点及其对应图像点的坐标，(R,t)可以线性求解。

Quan提出了求解PNP问题(N≥4)的线性方法，该方法的特性是，如果PNP问题有唯一解，则该解可以线性求出。当问题有多解时，Quan方法就不再适用。为此，1999年有文献给出了一种迭代求解的方法。