【计算机组成原理】数据的表示和运算
定点数原码、反码、补码和移码的表示范围
定点整数
原码
以8位字长为例，我们知道8位字长可以表示0到(2^8)-1总共256个数，因为原码中，0有两种表示方法。0,000000和1,000000(假设1位符号位，7位数值位)，所以可以表示255个数，即-127到+127。
补码
而8位字长的补码可以表示-128到+127，因为补码的0表示是唯一的。即0,0000000。而1,0000000在补码中表示的是 10 , 0000000 − 1 , 0000000 = − 128 10,0000000 - 1,0000000 = -128 10,0000000−1,0000000=−128
反码
因为反码在表示正数时和原码相同，在表示负数时相当于原码的数值位取反。所以它的性质，表示范围，表示的数字的个数都和原码一样。
移码
还以8位字长来表示，使用原码、反码和补码的时候，8位字长的第一位表示的是数符，所以实际表示数字绝对值的只有7位。在8位字长的无符号数下可以表示0-255，而我们希望不将首位作为符号位的同时又能表示负数，那么怎么做呢，使用移码。移码可以理解成映射，将[0,255]映射到[-128,127]，同样是256个数字。从右边（实际表示的数字）到左边（移码表示的形式）的变换是加上128，正好是10000000。变化所以00000000表示的是-128，而10000000表示的是0。
小结
通过上述我们可以发现，同样字长的情况下，原码和反码表示的数字要少一个，因为它们都用两个编码来表示0。而补码和移码不存在这种情况，所以同样的字长，补码和移码都比原码和补码多表示一个数字-2^n（设字长为n+1）。再次切记，正数的原码、反码和补码都相同。
定点小数
原码
和定点整数一样，原码用1,0000000和0,0000000来表示0，所以原码无法表示-1。
补码
1,0000000在补码中表示的是 10 , 0000000 − 1 , 0000000 = − 1 10,0000000 - 1,0000000 = -1 10,0000000−1,0000000=−1
这里和定点整数是一样的道理，区别只是因为定点小数无论字长多长，表示的最小值都是-1，而不像定点整数，字长越长，表示的最小值越小。
反码
同原码
小结
基本上理解了定点整数，定点小数就呼之欲出了。
负数原码和补码之间的转换
关于数据的表示，还涉及到符号扩展，左移右移时补码负数添0或添1的问题。这部分我们都用一个过程来理解而不需要死记硬背。这个过程就是关于负数在原码和补码之间的转换。
分析由原码得到补码的过程发现，当对其低位向高位找到第一个“1”时，在此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而在此“1”右边的各位（包括此“1”在内）均与对应的原码相同。
简单来说，从数值位从右往左找到第一个1，在此1和此1的右边不变，左边取反。即完成负数原码和补码的转换。
符号扩展
按照上面的分析，左边应该添加的是0的反码，右边应该添加0的原码。而整数的符号扩展是在左边补数，小数的符号扩展是在右边补数。所以负数补码的附加位都用1（对于整数）或0（对于小数）填充
算数移位
和上面同理，左移的时候是右边补数，所以补0，左边补1。
逻辑移位
因为逻辑移位将操作数视为无符号数，所以逻辑移位不管是左移还是右移，都添0。
负浮点数规格化
| 编码 | 最大值 | 最小值 | 表示范围 |
|---|---|---|---|
| 原码 | 1.10…0 | 1.11…1 | -(1-2^-n)<=M<=-1/2 |
| 补码 | 1.01…1 | 1.00…0 | -1<=M<=-(1/2-2^-n) |
可以看到补码的规格化数的范围相当于原码向左平移了一个数。
这里可简记为补码规格化数的尾数的最高位一定与尾数符号位相反。
在写选择题的时候，可以把补码转换为原码来判断题目给出的数是否为规格化数。
浮点数运算的陷阱和小知识点
- int转换为float时，虽然不会发生溢出，但由于尾数位数的关系，可能有数据舍入，从而产生误差，而转换为double则能保留精度。牢记没有精度损失的转换过程char->int->long->double
- 浮点数的计算可能会损失精度，特别是指数相差巨大的浮点数做运算。[《王道》P66t3【2010统考真题】]说法IV。(d+f)-d=f不成立（因为d和f指数相差巨大，计算的时候发生了舍入误差）
- 牢记浮点数的舍入有两种情况：对阶、右规格化
- 双符号位的最高符号位代表真正的符号，而低位符号位用于参与移位操作以判断是否发生溢出。
按边界对其存储
**定义：**即对于存放某长度为m字节的数据，存放地址需在m字节的整数倍存放，结构体整体的大小是最大成员长度的整数倍。
例题： 《王道》P47t4【2012统考真题】
条件码
选择题和综合体可能涉及，要熟记其含义。
| 条件码 | 含义 |
|---|---|
| CF:进位标志 | 最近的操作数使最高位产生了进位。可用来检查无符号操作的溢出 |
| ZF:零标志 | 最近的操作得出的结果为0 |
| SF:符号操作 | 最近得到的结果为负数 |
| OF:溢出标志 | 最近的操作导致一个补码溢出——正溢出或负溢出 |
真题题型总结
选择题
- 和C语言结合，考察基本数据类型之间的计算和溢出问题。这部分的技巧在于转换成真值的计算，然后考虑计算结果是否在数据类型的表示范围之内。
- 考察数据类型在内存中的位置，结合按边界对其存储以及大端模式/小端模式的理解。注意大端模式/小端模式针对的是字，这里见[《王道》P53t58【2018统考真题】]的A选项和B选项。
- 考察数据类型转换，特别是浮点数的转换，见上文。
- 考察IEEE754浮点数的表示范围（虽然说考纲已经删除，但18年的真题依然考察了该知识点）。这里主要记住IEEE754单精度指数的范围是-126~127，双精度指数的范围是-1022~1023。
- 考察对阶、规格化、舍入、尾数溢出和溢出的关系。下面是正确说法
- 对阶操作不会引起阶码上溢或者下溢。
- 右规和尾数舍入都可能引起阶码上溢。
- 左规时可能引起阶码下溢。
- 尾数溢出时结果不一定溢出。
综合题
- 同选择题部分。
- 11年考了两个论述的小问，涉及到加法器辅助电路和溢出的判断。《王道》P53t2【2011统考真题】（答案在P60页）
参考资料
《2020年计算机组成原理考研复习指导》——王道论坛
小记
这部分第一次学的时候感觉还是挺难的，第二第三遍复习思考之后，就觉得清晰起来。暂时还没有想到更多，如有补充，欢迎交流。