机器人理论（2）齐次坐标矩阵：旋转矩阵与角度的相互转化

引言

都知道旋转矩阵表达的是刚体（坐标系{B}）相对参考坐标系{A}的姿态信息，那如何利用已知的旋转矩阵，将{A}旋转一定角度变成与{B}一样的姿态呢？有几种方法：固定角旋转、欧拉角旋转、angle-axis表达法、Quaternion表达法等可以求出这个“角度”，在此介绍前两种。

另外，机器人学里常规是如何将刚体的位置、姿态信息融合在一起的呢？

目录

定角（Fixed angles）

X-Y-Z型公式：

举例：

欧拉角（Euler angles）​

以Z-Y-Z型为例的公式：

举例：

齐次变换矩阵(Homogeneous transformation matrix)

齐次矩阵的作用

齐次矩阵的运算特性

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定角（Fixed angles）

围绕固定的坐标系转动。固定坐标系的原点，坐标系再围绕已经固定的轴转动，全程原坐标系不动。

注意！移动位置的顺序可以调换，但是旋转的顺序不能调换，结果不一样。

 

以X-Y-Z型为例子：即先围绕X轴进行转动γ°，然后围绕Y轴进行转动β°，最后围绕Z轴进行转动α°。注意逆时针为正方向。

X-Y-Z型公式：

重点：先转的轴的放后面运算，如下

 

举例：

由角度推旋转矩阵

由旋转矩阵推角度

 

【解释】在这一题，我们可以借助我在“机器人理论（一）”文章中“旋转矩阵的特性和作用”的第三小节的公式，直接使用

、 两个矩阵，并且结合定轴旋转的“先转的放后面”，直接乘相乘即可。

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欧拉角（Euler angles）

“自旋转”，围绕当下（自己）的坐标系某轴转动，就是每次旋转，都固定被围绕的某一轴，另两轴动。

每次旋转，整个坐标系都会改变位置。

以Z-Y-Z型为例的公式：

重点：先转的轴的放前面运算，如下

举例：

矩阵转角度:

角度推旋转矩阵直接代公式就行,在这略。

【解释】在这一题，我们可以借助我在“机器人理论（一）”文章中“旋转矩阵的特性和作用”的第三小节的公式，直接使用

、 两个矩阵，并且结合自旋转的“先转的放前面”，直接按照顺序相乘即可。

 

 

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在（一）中我们已经知道如何表达位置信息的表达和姿态信息，就可以将它们合在方形矩阵——齐次变换矩阵里，以此表达刚体的空间信息。

 

齐次变换矩阵(Homogeneous transformation matrix)

也有称”齐次坐标“、”齐次坐标系“、”齐次矩阵“的。

包括物体的位置信息与姿态信息的矩阵，其实就是记录姿态信息的旋转矩阵和位置信息的合成。最后一行为固定数字0001。即n维的向量用一个n+1维向量来表示（多加了最后一行），所以称为”齐次“。

• 齐次矩阵的作用

该矩阵的三个作用与旋转矩阵一致

（1）可以描述坐标系{B}相对于{A}的空间信息：

（2）可以将某物体在坐标系{B}上的空间信息转换到{A}上（Mapping）

它的运算，例如上面提到的定角旋转——先转的放后面。

举例：

（3）可以得出同一个坐标系{A}中的某向量P旋转某角度θ后的坐标（operator）

它的运算类似于上面提到的欧拉角旋转——先转的放前面。

证明：

举例：

 

• 齐次矩阵的运算特性

（1）连续性：

旋转矩阵也有同样性质。

（2）反矩阵=转置矩阵：

 

齐次矩阵特性的实际应用：利用已知的T关系，求解出未知关系的 T 矩阵

吐槽：csdn的文章编辑排版也太烂了.....这个图片缩放跟闹着玩一样缩不缩都一样。