用LUT来搭建乘法器

引言

卷积占据了CNN网络中绝大部分运算，进行乘法运算通常都是使用FPGA中的DSP，这样算力就受到了器件中DSP资源的限制。比如在zynq7000器件中，DSP资源就较少，神经网络的性能就无法得到提升。利用xilinx器件中LUT的结构特征，设计出的乘法器不但能灵活适应数据位宽，而且能最大限度降低LUT资源使用。

01

Xilinx ultrascale器件LUT结构

在这里简要介绍一下ultrascale系列器件中的LUT结构，有助于后边对乘法器设计思路的理解。CLB（configuratble logic block）是主要的资源模块，其包含了8个LUT，16个寄存器，carry逻辑，以及多路选通器等。其中LUT可以用作6输入1输出，或者两个5输入LUT，但是这两个LUT公用输入，具有不同输出。每个LUT输出可以连接到寄存器或者锁存器，或者从CLB输出。LUT可以用于64x1和32X2的分布式RAM，一个CLB内最大可以支持512X1大小的RAM。RAM的读写地址和输入的读写数据是共享的，数据通道可以使用x和I接口。LUT还可以配置用于4:1选通器，CLB最大能够支持到32:1的选通器。CLB中的carry逻辑含有异或门和产生进位的门，用于生成进位数据。

图1.1 LUT结构

 

LUT还可以被动态配置成32bit移位寄存器，这个功能在乘法器设计中可以用于改变乘法器的乘数和被乘数。在写入LUT数据的时候，每个时钟周期从D接口进入数据，依次写入32bit数据。读数据的时候，可以通过地址来定位任何32bit中的数据。这样就可以配置成任何小于32bit的移位寄存器。移位输出Q31可以进入下一级LUT用于串联产生更大移位寄存器。在一个CLB中最大可以串联产生256bit移位寄存器。

图1.2 移位寄存器配置

 

02

LUT乘法器原理

首先假设我们处理整数乘法，小数乘法也可以用这样的方法。基本思想就是将m bit大小的数据进行分割表示：

其中0<=di<2^q。乘以一个常数K：

这样就将两个数据乘法分解成低bit数据乘法，结果是一个常数K和di相乘，然后再进行移位求和。M bit数据分解后的低bit数据位宽通常都适配LUT输入宽度，这样能最大利用LUT资源。现在乘法只有K*di，由于bit位宽较小，这部分可以用LUT查找表的形式来。预先将0K到（2^q-1）K的数据存储到LUT中，然后通过di来选择对应的数据。如果是负数乘法，那么数据使用补码表示，那么LUT中存储的数据是从-2^(q-1)K到（2^(q-1)-1）K。针对以上介绍的ultrascale器件的LUT6，q可以选择为5。但是在本论文中使用的是LUT4器件，其只有4输入，因此选择了q=3，为什么没有选择4呢？另外1bit是为了用于半加器的实现。

03

基本结构

实现上述累加的方法有很多种，论文中采用了进位链加法器。图2.1中是m bit和n bit数据乘法，每个E结构计算di*K，并且和上一个结构求和，输出的低3bit直接作为最终结果，而n bit传输到下一级进行计算。q=3的计算单元E有[m/3]个。K*di是有n+3bit的查找表实现的。查找表的结果由di选择，然后再通过一个求和器和之前数据求和。这是一个最基本的结构，论文又针对这个结构做了优化，用一个LUT同时实现了一个查找表和半加器。具体来讲，其中3bit输入用于di，还有1bit用于上一次输出，LUT中存放数据是di*K和上一次结果第j bit的半加结果，实际上是第j bit数据LUT中结果的异或。而进位数据由CLB中相应的carry逻辑来计算。相比于粗暴的进行数据求和，这样精确的来控制LUT能够大大节省资源。

图2.1 基本结构

 

图2.2 LUT实现乘法和半加，外围carry逻辑实现进位

 

04

动态配置LUT内容

Xilinx的LUT结构允许在运行过程中改变LUT中的内容，这样的乘法器就能改变被乘数据K。这可以实现在神经网络计算中需要更新权重参数。论文中使用的是LUT4，所以一个LUT可以被配置成16bit移位寄存器。通过这16bit寄存器可以来配置LUT中的内容，每个时钟周期更新1bit数据，16个时钟周期可以完成一个LUT中数据更新。是否进行LUT内容更新通过CE使能信号控制。

如何产生LUT中数据的值呢？如果上一次输出数据对应bit为0，那么LUT中就存放0*K到7*K的值，如果上一次对应bit为1，那么存放值为对以上数据取反。图4.1表示了获得LUT中内容的电路图。首先数据被初始化为0*K，下一次对应着求和进位为1的情况，取反，然后再加K得到1*K的值，这样每隔两个时钟周期就得到下一个乘法的数据值，依次对LUT进行更新。上述中针对的是正整数，如果对于负数乘法更新，可以在上述求整数乘法的电路基础上做一下改进，如图4.2。当最高位为0的时候，输出结果就是之前求得的乘法结果。如果最高位是1，那么负数的补码表示是乘法的原码结果减去最高位数值。

图4.1 LUT中内容更新电路图

 

图4.2 负数乘法结果更新电路

 

05

结果分析

最后我们来看看这种乘法器的实现效果，图5.1表示对多级进位不适用pipeline结构的时钟频率随着被乘数K位宽变化，可以看到随着级数E的增加，频率降低很多，这主要是进位链边长导致。而随着K位宽增加，频率也有降低，这主要是因为实现di*K乘法的LUT资源增加导致。

图5.1 没有pipeline下频率MHz

 

图5.2是不同乘法位宽下的使用slice数量。论文中考虑了两种极端情况，一种是完全pipeline下，即每级计算单元都经过寄存器，另外一种是完全没有pipeline，所有级E都是串联。

图5.2 slice资源

 

结论

上述通过LUT来设计乘法器的方法，可以应用于CNN中的卷积运算当中，因为权重可以被当做被乘数，用于LUT内容的配置，在更换权重时，可以对LUT内容更新，这样就能避免了DSP资源的限制，不失为一种增加算力的方法。

文献

 

1. Hormigo, J.C., Gabriel Oliver, Juan P.Boemo, Eduardo, Self-Reconfigurable Constant Multiplier for FPGA. ACM Transactions on Reconfigurable Technology and Systems, 2013. 6

往期回顾

1. 可变位宽的大规模矩阵乘法

2. 脉动阵列

3. 在DNN中FPGA做了什么？