线性代数笔记1：矩阵的四个基本子空间

矩阵的四个基本子空间贯穿整个线性代数，包含了矩阵的秩、维数、基等重要概念。

定义及性质

设 A A 为 m×n m × n 矩阵，则：
列空间（Column space） C(A)={y∈Rm|y=Ax} C ( A ) = { y ∈ R m | y = A x }
行空间（Row space） C(AT)={y∈Rn|y=ATx} C ( A T ) = { y ∈ R n | y = A T x }
零空间（Nullspace） N(A)={x∈Rn|Ax=0} N ( A ) = { x ∈ R n | A x = 0 }
左零空间（Left nullspace） N(AT)={x∈Rm|ATx=0} N ( A T ) = { x ∈ R m | A T x = 0 }

基

C(A) C ( A ) ：化为行阶梯矩阵，主元对应的 A A 的列为基。
C(AT) C ( A T ) ：化为行阶梯矩阵，主元对应的 U U 的行为基。
N(A) N ( A ) ：基础解系为基。
N(AT) N ( A T ) ： EA=U0，E E A = U 0 ， E 的 r+1→m r + 1 → m 行为基。

证明：
可将矩阵 A→U0=(I0F0) A → U 0 = ( I F 0 0 ) ，前 r r 行有主元，后 m−r m − r 行是零向量。即存在可逆矩阵 E E ， EA=U0 E A = U 0 ，且 ⎛⎝⎜uT1...uT1⎞⎠⎟ ( u 1 T . . . u 1 T ) 。
则 uTr+1A=0,...,uTmA=0 u r + 1 T A = 0 , . . . , u m T A = 0 ，根据定义，即 ur+1,...um u r + 1 , . . . u m 是 N(AT) N ( A T ) 的一组基。

例：求解矩阵的四个线性子空间

A=⎛⎝⎜101303505011729⎞⎠⎟→U0=⎛⎝⎜100300500010720⎞⎠⎟,E=⎛⎝⎜10−101−1001⎞⎠⎟ A = ( 1 3 5 0 7 0 0 0 1 2 1 3 5 1 9 ) → U 0 = ( 1 3 5 0 7 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ) , E = ( 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 1 ) 。
行空间
s1=c1[13507]T，s2=c2[00012]T s 1 = c 1 [ 1 3 5 0 7 ] T ， s 2 = c 2 [ 0 0 0 1 2 ] T
列空间
s1=c1[101]T，s2=c2[011]T s 1 = c 1 [ 1 0 1 ] T ， s 2 = c 2 [ 0 1 1 ] T
零空间
s1=c1[−31000]T，s2=c2[−50100]T，s3=c3[−7−2001]T s 1 = c 1 [ − 3 1 0 0 0 ] T ， s 2 = c 2 [ − 5 0 1 0 0 ] T ， s 3 = c 3 [ − 7 − 2 0 0 1 ] T
左零空间
s1=c1[−1−11]T s 1 = c 1 [ − 1 − 1 1 ] T

维数

维数（dimension）是基中向量的个数，并且可以证明，任何两个基中向量个数一样多（反证法）。
直观感觉不难得到，当将矩阵 A A 化简为 U0 U 0 后，行空间和列空间的维数都等于主元的个数，也就等于矩阵的秩 r r 。而零空间的维数就等于基础解系的个数，因此为列数减去秩。同理，左零空间为 A A 的转置的基础解系的个数，因此等于 AT A T 的列数减去秩。因此不难得到如下等式：

dimC(A)=r d i m C ( A ) = r
dimC(AT)=r​ d i m C ( A T ) = r ​
dimN(A)=n−r d i m N ( A ) = n − r
dimN(AT)=m−r​ d i m N ( A T ) = m − r ​
- 为什么 dimC(A)=dimC(AT)=r d i m C ( A ) = d i m C ( A T ) = r ?
- 行空间维数是矩阵的主元(pivot)的个数，而当矩阵 A A 消元转换为 EA=R E A = R (简化行阶梯矩阵)，就是非零行的个数，也就是前 r r 行，因此维数为 r r 。
- 列空间维数是在消元之后，矩阵的列数减去自由变量的个数，由定义可知，自由变量为非主元的个数，因此列空间维数也等于主元的个数 r r 。

维数公式

设 V V 是一个向量空间， W1,W2 W 1 , W 2 是两个子空间，则 W1∪W2 W 1 ∪ W 2 和 W1+W2 W 1 + W 2 是 V V 的子空间，但 W1∪W2 W 1 ∪ W 2 一般不是子空间。它们满足以下关系：

dimW1+dimW2=dim(W1∪W2)+dim(W1+W2) d i m W 1 + d i m W 2 = d i m ( W 1 ∪ W 2 ) + d i m ( W 1 + W 2 )

可以使用离散数学中的鸽巢原理证明，并学会应用求解 W1∪W2 W 1 ∪ W 2 和 W1+W2 W 1 + W 2 。

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