Boosting发展综述

Boosting思想起源于PAC（Probably Approximately Correct）学习模型，   Kearns 和  Valiant  于1989年提出弱学习器与强学习器学习能力等价的猜想[1]，1990年Schapire通过构造多项式的方法证实了这一猜想，这也是最初的Boosting算法。一年后，Schapire提出了一种更为高效的Boosting算法，但这两种算法都需要知道弱学习器的学习正确率的下限，难以应用实际问题。

Adaptive Boosting

1997年，Schapire提出了AdaBoost（Adaptive Boosting）算法，能够更好地利用弱学习器的优势，同时也摆脱了对弱学习器先验知识的依赖。AdaBoost的主题思想是减弱上一轮预测正确的样本的权重，增大预测错误的样本权重。同时，给预测错误率低的学习器更大权重。 AdaBoost的损失函数是指数损失函数 ，从而可以推导出分类器的权重。

其伪代码如下[2]：

AdaBoost方法有着很强的抗过拟合能力 ，Freund 和Schapire 使用可最初给出的AdaBoost的误差上界为：

泛化错误（泛化错误可理解为测试错误） < 训练错误 + 学习算法容量相关项

实验表明，AdaBoost通常不会发生过拟合，也就是说在训练误差降为0以后，泛化集的误差常常随着训练继续下降，甚至可以继续新增1000个学习器左右。1998年，Schapire引入margin-based理论解释，基于margin的概念， AdaBoost的误差上界为：

泛化错误 < 训练Margin项 + 学习算法容量相关项 (2)

Gradient Boosting

在AdaBoost发表后不久，Breiman等人发表了 Formulate AdaBoost as gradient descent with a special loss function 。 2001年，Freund 在 Greedy function approximation: A gradient boosting machine 中，将梯度下降的思想引入 Boosting 算法，提出了Gradient Boosting 思想。Gradient Boosting 是一个 Boosting 框架，能处理不同的损失函数，较为实用。

Gradient Boosting思想在函数空间以负的梯度方向优化cost function，可以认为是AdaBoost的推广。

经典的GBDT算法一般选取CART回归树模型作为弱学习器，square loss作为cost function，从而GBDT在迭代过程是学习上一轮的残差。 square loss对异常值不鲁邦 ，也可以采用其他的cost function，如absolute loss 或 huber loss。[3]

对于分类问题，很多是获得一个概率分布来逼近真实的概率分布。所以很多时候基于log loss来构建目标函数，如 KL-divergence或cross entropy，如果用指数损失函数，GBDT则等价为退化成AdaBoost。

XGBoost

XGBoost的目标函数形式[4]：

对Training loss项进行泰勒二阶展开：

定义树的复杂度：

去除loss function中的常数项：

问题变成了一个一元二次方程的极值求解问题：

然后，贪心算法计算

GBDT与XGBoost比较[5]：

• 传统GBDT以CART作为基分类器，xgboost还支持线性分类器，这个时候xgboost相当于带L1和L2正则化项的逻辑斯蒂回归（分类问题）或者线性回归（回归问题）。
• 传统GBDT在优化时只用到一阶导数信息，xgboost则对代价函数进行了二阶泰勒展开，同时用到了一阶和二阶导数。顺便提一下，xgboost工具支持自定义代价函数，只要函数可一阶和二阶求导。
• xgboost在代价函数里加入了正则项，用于控制模型的复杂度。正则项里包含了树的叶子节点个数、每个叶子节点上输出的score的L2模的平方和。从Bias-variance tradeoff角度来讲，正则项降低了模型的variance，使学习出来的模型更加简单，防止过拟合，这也是xgboost优于传统GBDT的一个特性。
• Shrinkage（缩减），相当于学习速率（xgboost中的eta）。xgboost在进行完一次迭代后，会将叶子节点的权重乘上该系数，主要是为了削弱每棵树的影响，让后面有更大的学习空间。实际应用中，一般把eta设置得小一点，然后迭代次数设置得大一点。（补充：传统GBDT的实现也有学习速率）
• 列抽样（column subsampling）。xgboost借鉴了随机森林的做法，支持列抽样，不仅能降低过拟合，还能减少计算，这也是xgboost异于传统gbdt的一个特性。

• 对缺失值的处理。对于特征的值有缺失的样本，xgboost可以自动学习出它的分裂方向。
• xgboost工具支持并行。boosting不是一种串行的结构吗?怎么并行的？注意xgboost的并行不是tree粒度的并行，xgboost也是一次迭代完才能进行下一次迭代的（第t次迭代的代价函数里包含了前面t-1次迭代的预测值）。xgboost的并行是在特征粒度上的。我们知道，决策树的学习最耗时的一个步骤就是对特征的值进行排序（因为要确定最佳分割点），xgboost在训练之前，预先对数据进行了排序，然后保存为block结构，后面的迭代中重复地使用这个结构，大大减小计算量。这个block结构也使得并行成为了可能，在进行节点的分裂时，需要计算每个特征的增益，最终选增益最大的那个特征去做分裂，那么各个特征的增益计算就可以开多线程进行。

LightGBM

LightGBM是微软16年开源的Boosting算法，最典型的有时就是计算非常快，github地址：https://github.com/Microsoft/LightGBM。[6]

Histogram算法

直方图算法的基本思想是先把连续的浮点特征值离散化成k个整数，同时构造一个宽度为k的直方图。在遍历数据的时候，根据离散化后的值作为索引在直方图中累积统计量，当遍历一次数据后，直方图累积了需要的统计量，然后根据直方图的离散值，遍历寻找最优的分割点。

带深度限制的Leaf-wise的叶子生长策略

Level-wise过一次数据可以同时分裂同一层的叶子，容易进行多线程优化，也好控制模型复杂度，不容易过拟合。但实际上Level-wise是一种低效的算法，因为它不加区分的对待同一层的叶子，带来了很多没必要的开销，因为实际上很多叶子的分裂增益较低，没必要进行搜索和分裂。

Leaf-wise则是一种更为高效的策略，每次从当前所有叶子中，找到分裂增益最大的一个叶子，然后分裂，如此循环。因此同Level-wise相比，在分裂次数相同的情况下，Leaf-wise可以降低更多的误差，得到更好的精度。Leaf-wise的缺点是可能会长出比较深的决策树，产生过拟合。因此LightGBM在Leaf-wise之上增加了一个最大深度的限制，在保证高效率的同时防止过拟合。

参考资料：

[1]Kearns M, Valiant L G. Learning Boolean formulae or finite automata is as hard as factoring[J]. 1988.
[2] Zhi-Hua Zhou. Ensemble Methods Foundations and Algorithms .2012.
[3]https://www.jianshu.com/p/005a4e6ac775
[4]Tianqi Chen.Introduction to Boosted Trees.2014.
[5]https://www.zhihu.com/question/41354392
[6]https://www.zhihu.com/question/51644470