笔试之排序算法（一）

排序（升序）

0. 冒泡排序

0.1 算法思想

• 临近的数字两两进行比较，逆序则交换，一趟过去最大的元素被放到最后一位。
• 再对前n-1个元素进行上述操作，直到第一个元素

0.2 性能分析

• 最坏情况：
  
  • 比较次数：(N-1)+(N-2)+……+2+1=N(N-1)/2~ N2/2
  • 交换次数：同上
• 最好情况：
  
  • 比较次数：(N-1)+(N-2)+……+2+1=N(N-1)/2~ N2/2
  • 交换次数：0

0.3 特点

存在不足：就是本来位于前面的较小数被交换到后面

1. 选择排序

1.1 基本思想

• 找到数组中最小的元素
• 将它与数组的第一个元素交换位置
• 再次，剩下的元素找最小的元素与数组的第二个元素交换位置
• 直到最后一个元素
  即不断选择剩余元素的最小者，与第n个元素交换，直至整个数组有序

1.2 性能分析

• 交换次数总是N
• 比较次数约为 N2/2
  
  • 0-N-1的任意i都会进行 N−1−i 次比较，故 (N-1)+(n-2)+……2+1=N(N-1)/2~ N2/2 次比较

1.3 特点

• 当前索引左边都是有序的
• 一次确定一个元素的位置
• 数据移动最少，N次交换，每次只会改变两个元素的值
• 比较平均，与初始序列无关，没有最好最坏

2. 插入排序

2.1 基本思想

将一个数据插入到已经排好序的有序数据中。
从后往前找，当插入元素<第n个元素时，交换二者，直到插入元素>=第n个元素

2.2 性能分析

• 最坏情况：逆序
  
  • 比较次数：1+2+……+N-1=N(N-2)~ N2/2
  • 交换次数：1+2+……+N-1=N(N-2)~ N2/2
• 最好情况：有序
  
  • 比较次数：N-1，每次插入只需要一次比较
  • 交换次数：0

2.3 特点

• 需要给插入元素腾出空间，将插入位置之后的元素右移。实际中为，每次比较，都一次交换
• 需要初始顺序有关，部分有序的数组比随机数组快的多

3. 希尔排序

3.1 基本思想

• 基于插入排序，交换不相邻元素，对数组局部进行排序，并最终用插入排序将局部有序的数组排序。
• 使数组中间隔为h的元素都是有序的。h-子数组中交换到比它大的元素之前去，只需要将插入排序代码移动元素的距离由1改为h即可。

3.2 性能分析

• 透彻理解希尔排序的性能至今仍然是一项挑战。达不到平方级别，最坏情况下，比较次数与N^(3/2)成正比
• 不需要额外的空间

3.3 特点

• 间隔序列的选择会影响排序效率
• 排序之初，各子数组很短，排序之后各子数组部分有序。两种情况都适合插入排序

4. 归并排序

4.1 算法思想

• 将两个有序数组，归并成一个更大的有序数组。
• 原地归并：需要一个辅助数组，i，j分别作为两个数组的哨兵。a[i]?a[j],第一个数组的第i个元素小，则将该元素放入辅助数组，i++；同理。直到其中一个数组的元素用尽，即i>mid或j>hi，则直接取另外一个数组的元素，直至全部用尽。

4.2 性能分析

• 递归实现和非递归实现，都需要1/2NlgN至NlgN次比较
• 一个长度为N的辅助数组
• 最坏情况需要NlgN次比较

4.3 特点

• 最坏情况下，归并排序最好
• 空间复杂度不是最优

5. 快速排序

5.1 算法思想

• 分治思想：将一个数组分成两个子数组，将两部分独立地排序。
• 切分：切分元素的位置排定，之前的所有元素不大于它，之后所有元素不小于它。两个指针头指针i，尾指针j，从左往右扫描数组，直到找到大于等于切分元素的a[i]，从右往左扫描数组，直到找到小于等于切分元素的a[j]，交换a[i]和a[j]的位置，直到指针i和j相遇。

5.2 性能分析

最好情况是切分元素每次都能把数组对半分，此时比较次数为NlgN
最坏情况是切分不平衡，第一次从最小元素切分，第二次从第二小的元素切分，此时比较次数约 N2/2
空间复杂度lgn（递归辅助栈）

5.3 特点

• 实现简单，运用广泛
• 原地排序（只需要一个很小的递归辅助栈）
• 与初始序列（切分元素的顺序）有关
• 缺点是非常脆弱，很容易达到最坏情况，平方级别的时间复杂度

6. 堆排序

6.1 算法思想

• 数组实现的二叉堆，二叉树的每个节点都大于等于两个子结点，按层级顺序放入数组，位置k个父节点为k/2，两个子结点分别为2k，2k+1
• 所有元素插入最小堆，再重复调用删除最小元素的操作，按顺序删去。
• 将排序的数组作为堆本身，无需额外空间

6.2 性能分析

唯一能够同时最有利用空间和时间的方法，最坏情况下~2NlgN次比较

6.3 特点

• 无法利用缓存，很少和相邻的其他元素进行比较，缓存未命中次数远远高于其他算法

总结：

• 任何一个基于比较的排序算法，比较次数都大于等于NlgN
• 稳定的：冒泡排序、插入排序和归并排序，其他都不稳定。
• 逆序时达到最坏情况：插入排序，快速排序
• 顺序时达到最坏情况：快速排序
• 找n个数的中位数，可以在O(n)时间内完成
• 最好情况最快的是插入排序比较次数为N-1