浅谈凸包及Graham扫描法

    凸包是计算几何中的一个基本概念。在竞赛中，很少单独考察凸包，但求凸包是很多题目求解的一个关键性步骤。

    1)凸包的性质

        给定一个点集，凸包是能够包围所有点的最小凸多边形。”凸包边上的点，称为凸包点，其余点称为凸包内点“（引自何援军著《几何计算》）

        凸包有一些区别于普通多边形的重要性质：

        1.所有的顶点均在任何一条凸包边所在直线的一侧，如果逆时针遍历凸包的边，则对每条边，所有点均在其左侧。

        2.从任一点出发，沿逆时针遍历凸包，总是向左转，沿顺时针遍历凸包，总是向右转（即叉乘的符号在沿同一方向运动时是不变的）。

        3.凸包对凸包点排序，即选定一条边，凸包上的点依次与该边所在直线的距离成单峰函数。

    2)凸包求法

        经常会遇到这样的问题：给定平面上的一些点，求这些点对应的凸包。

        此处暂介绍一种方法：Graham扫描法，还有其他方法，这里不再介绍。

        步骤如下：

        1.将点按照x坐标排序，x坐标相同就按y坐标排序。

        2.第一个点必定是凸包中的点，将其压入栈S中。

        3.对下一个点进行判断，如果栈内元素小于2个，则将该点直接加入栈中；否则，进行叉积判断。如果是进行逆时针判断，只要遇到向右转的情况，就从栈中弹出一个点，直到栈中只剩一个点或者出现左转。重复此步骤，直到n个点全部遍历完毕。

        4.从n开始，向前遍历，遍历方法如3，直到遍历到第一个点。

        整体过程如下图所示：

       

这时遇到右转，将P3弹出。

再次遇到右转情况，弹出P4。

特别提醒：如果出现三点共线的情况，最好将中间的点删去，可以让复杂度稍微小一点。

出现右转，将P5弹出。

右转，弹出P4。

回到起点，这时栈S中的元素：P1，P2，P5，P6，P3，P1，这就是整个凸包的凸包点的集合。

代码实现如下：

point s[N];                                      //运行结束时，凸包点按顺序存于s中，n为凸包顶点的个数 
double cp(point a,point b,point o)               //叉积 
{
	return (a-o)*(b-o);
}
void convex(point *p,int &n)                     //参数p为输入点，n为输入点个数 
{
	sort(p,p+n);                                 //将点按x坐标排序，如果x相同按y坐标排序 
	int i,j,r,top,m;
	s[0]=p[0];s[1]=p[1];top=1;
	for(i=2;i0&&cp(p[i],s[top],s[top-1])>=0)
		  top--;
		top++;s[top]=p[i];
	}
	m=top;                                       //记录当前栈s里元素的个数 
	top++;s[top]=p[n-2];
	for(i=n-3;i>=0;i--)                          //从后向前扫描 
	{
		while(top>m&&cp(p[i],s[top],s[top-1])>=0)
		  top--;
		top++;s[top]=p[i];
	}
	top--;
	m=top+1;
}

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