神经网络学习（五）优化方法：激活函数

系列博客是博主学习神经网络中相关的笔记和一些个人理解，仅为作者记录笔记之用，不免有很多细节不对之处。
主要参考了几篇博文：几种常见的激活函数、几种常用激活函数的简介、ReLu(Rectified Linear Units)激活函数 和 The Activation Function in Deep Learning 浅谈深度学习中的激活函数

激活函数

下面几个激活函数的公式

1. sigmod函数

在sigmod函数中我们可以看到，其输出是在(0,1)这个开区间内，这点很有意思，可以联想到概率，但是严格意义上讲，不要当成概率。sigmod函数曾经是比较流行的，它可以想象成一个神经元的放电率，在中间斜率比较大的地方是神经元的敏感区，在两边斜率很平缓的地方是神经元的抑制区。

sigmod函数本身是有一定的缺陷的。

1. 当输入稍微远离了坐标原点，函数的梯度就变得很小了，几乎为零。在神经网络反向传播的过程中，我们都是通过微分的链式法则来计算各个权重w的微分的。当反向传播经过了sigmod函数，这个链条上的微分就很小很小了，况且还可能经过很多个sigmod函数，最后会导致权重w对损失函数几乎没影响，这样不利于权重的优化，这个问题叫做梯度饱和，也可以叫梯度弥散。
2. 函数输出不是以0为中心的，这样会使权重更新效率降低。因为这会导致后层的神经元的输入是非0均值的信号，这会对梯度产生影响：假设后层神经元的输入都为正(e.g. x>0 elementwise in ),那么对w求局部梯度则都为正，这样在反向传播的过程中w要么都往正方向更新，要么都往负方向更新，导致有一种捆绑的效果，使得收敛缓慢。 当然了，如果你是按batch去训练，那么每个batch可能得到不同的符号（正或负），那么相加一下这个问题还是可以缓解。因此，非0均值这个问题虽然会产生一些不好的影响，不过跟上面提到的 kill gradients 问题相比还是要好很多的。
3. sigmod函数要进行指数运算，这个对于计算机来说是比较慢的。

2. ReLU函数

ReLU. 近年来，ReLU 变的越来越受欢迎。它的数学表达是： f(x)=max(0,x) f ( x ) = m a x ( 0 , x ) 。很显然，从上图可以看出，输入信号 <0时，输出为0，>0时，输出等于输入。ReLU的优点如下：

1. 优点1：Krizhevsky发现使用 ReLU 得到的SGD的收敛速度会比sigmoid/tanh 快很多。有人说这是因为它是linear，而且梯度不会饱和
2. 相比于 sigmoid/tanh需要计算指数等，计算复杂度高，ReLU 只需要一个阈值就可以得到激活值。

ReLU的缺点如下：

1. ReLU在训练的时候很”脆弱”，一不小心有可能导致神经元”坏死”。举个例子：由于ReLU在x<0时梯度为0，这样就导致负的梯度在这个ReLU被置零，而且这个神经元有可能再也不会被任何数据激活。如果这个情况发生了，那么这个神经元之后的梯度就永远是0了，也就是ReLU神经元坏死了，不再对任何数据有所响应。实际操作中，如果你的learning rate 很大，那么很有可能你网络中的40%的神经元都坏死了。 当然，如果你设置了一个合适的较小的learning rate，这个问题发生的情况其实也不会太频繁。
2. 我们发现ReLU函数的输出要么是0，要么是正数，这也就是说，ReLU函数也不是以0为中心的函数。

实验

在上一节中，我们实现了一个BP神经网络，这一节我们用这段代码做个GUI，方便我们进行实验测试（本节相关程序可以在这里下载）。GUI界面如下图所示。这里我们对上节的程序进行下修改，把隐层的激活函数换成可指定的方式，输出层仍旧使用sigmoid函数。隐层总共有9种激活函数可选：Sigmoid，Linear，Tanh，ArchTan，Relu，Parameteric ReLU（PReLU），ELU，SoftPlus和BentLinear。左下的Figure是用来显示激活函数和它的导数的，左上是测试数据（颜色表示类别），右上图是预测结果（颜色表示类别），右下是精度曲线。这个实验的数据是圆环2数据模式，训练数据5000，测试数据1000。下面是仅改变隐层神经元的一个对比。

ReLU激活函数，隐层神经元30个，最后分类精度为95.8% sigmoid激活函数，隐层神经元30个，分类精度未发生改善，至于为什么会有这种情况不太清楚。在隐层神经元过多时候容易出现。可能是因为出现了过拟合，模型对训练数据匹配得较好，梯度非常小，模型不再更新
ReLU激活函数，隐层神经元20个，相对于30个神经元时，精度稍有提高。如果进行多次训练取平均值的话，两个差别不大
sigmoid激活函数，隐层神经元20个，分类精度明显提高
ReLU激活函数，隐层神经元10个，神经元数量太少，分类精度降低

sigmoid激活函数，隐层神经元10个，分类精度降低

上面仅仅是一个实验示例。经过几天实验，得到以下几点认识 (这个实验得到的认识可能不是十分准确，甚至是错误的，因为这个BP程序只有一个隐层。也可以设置多个隐层，但是效果并不好）：

1. 数据比较复杂时，mini_batch的值设置的相对大一些，这样每次能覆盖不同的类型，训练的效果会更好
2. 在训练次数相同时，ReLU激活函数的训练效果确实优于sigmoid函数。在大量次数（几十万次以上）训练后相差不大。
3. sigmoid更容易出现过拟合。对于这个实验，隐层神经元为30个的时候，sigmoid会出现过拟合现象，几乎不能分类，在隐层神经元为10个的时候，能够进行部分分类，但是效果比不上ReLU的分类效果

4. ReLU在小batch（比如10）时效果不好，总结下ReLU的特点，隐层比sigmoid需要的神经元多，学习速率相对要小一点，mini_batch的数量要大一些。

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