字符串匹配 & KMP算法

初识KMP

• 期末的时候学习了KMP算法，虽然一开始的确听得是一头雾水，但是到现在，已经基本懂得了其中的原理，于是在这里把自己的理解写出来，再配上自己做的图示，希望对大家的学习有帮助，要是有什么疑问或建议，欢迎留言评论。^-^
• KMP是一种用于字符串匹配的算法，至于为什么叫KMP呢，那是因为它是由D.E.Knuth和J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的，所以人们称它为K-M-P算法。
• 所谓字符串匹配操作，可以这样理解：
  

  • 有一个长度为m 的字符串S，我们可以称它为目标串
    
  • 有一个长度为 n 的字符串T，我们可以称它为模式串
    
  • 字符串匹配操作所要做的，就是要你在S中找出所有与T相同的子串

  
  

方法讲解

下面就来讲一讲KMP其中的思路 （为程序方便，这里 S 和 T 两个字符串下标都是从0开始的） （因为对于不同的题目，对结果要求可能不同，所以程序中处理答案的部分就直接用“`ans++“`来代替）

暴力方法

讲KMP之前，我觉得应该先说一说最暴力的方法，也就是说直接逐位比较，先比较S[0..n-1]和T[0..n-1]是否一样，然后比较S[1..n]和T[0..n-1]是否一样，依此类推

void baoli(){
    for (int i=0; i+n<=m; i++){
        int j;
        for (j=0; jif (j>=n) ans++;                    //j>n代表整个T串都匹配成功了
    }
}

思考

数据小还没什么，可一旦数据变大，这种暴力方法就变得很慢了，可以看出，这种暴力在最倒霉的状况下（比如 S 和 T 都是一长串相同的字母），时间几乎可以到达O(n*m)，这时，就会想到优化一下这个方法，于是人们就发明出了KMP。

KMP方法

• 从前面的暴力方法中可以发现，时间大多是浪费在很多重复的不合法位置上，也就是说，比如在S中匹配到T的第i位发现对不上（失配）了，若用暴力方法，则只是单纯地往后移一位，要是可以预处理出这时应给往后移动几位，那么速度就会快很多。

next数组

• 那么，我们就可以先对T预处理出一个next数组，表示满足T[0..x+1]=T[(i-x)..i]的最大的x
• 可以想象图中黑长条是T，而两段小蓝条是相等的，且对于当前的i没有更长的这样的蓝条，那么图中蓝色箭头指向的就是next[i]了
  
• 要怎么求这个next数组呢？可以这样：
  
  • 初始一下next[0]=-1
  • 枚举 i 从1到n，依次求next[i]
  • 再用一个变量 k 记录答案，初始值为next[i-1]，即图中左边那个篮框的位置，不过此时 k+1 这里不确定是不是i那个字符，再判断一下，若T[k+1]与T[i]不同，则k=next[k]，直到k小于零为止。

void get_next(){
    next[0]=-1;
    for (int i=1; inext[i-1];
        while (k>-1 && T[k+1]!=T[i]) k=next[k];
        if (T[k+1]==T[i]) k++;
        next[i]=k;
    }
}

• 附上几组求next数组的演示动画，可以截图下来慢慢看
• ababa
• 
• ababacabc
• 

kmp

接下来就简单了，看一看动画，再看一看程序应该就可以差不多懂了，之前手画了一个示意图，T数组当时用的是P，看看画得清不清楚~

void kmp(){
    int k=0;                //k代表T字符串中T中k以及之前的都匹配好了(T[0..k]=S[i-k-1..i-1])
    for (int i=0; iwhile (k>-1 && S[i]!=T[k+1]) k=next[k];     //可以看做T一直向右移知道匹配成功或不能移了
        if (S[i]==T[k+1]) k++;  //若T[k+1]位与S[i]，说明第k+1位也是匹配成功的，k就再加一下
        if (k==n-1) k=next[k], ans++;   //要是k是T的最后一位，说明T整串都匹配成功，处理一下答案
    }
}

第三行代表着下一个T应跳的位置
S: ababcabcababcababcac
T: abcababc

S: ababababcababdababadb
T: ababa

结束

可以看到，用了kmp之后，时间复杂度差不多就是O(m)了很快吧！
学完之后要是还不太懂，可以多打几遍，做些题，打多了就熟了，下面附上洛谷3375-kmp模板题的程序（这题题面上n和m是和程序里是反过来的，不要介意）

#include 
#include 
using namespace std;
char S[1000010],T[1000010];
int m,n,next[1000010];

void get_next(){
    next[0]=-1;
    for (int i=1; iint k=next[i-1];
        while (k>-1 && T[k+1]!=T[i]) k=next[k];
        if (T[k+1]==T[i]) k++;
        next[i]=k;
    }
}

void kmp(){
    int k=0;
    for (int i=0; i<m; i++){
        while (k>-1 && S[i]!=T[k+1]) k=next[k];
        if (S[i]==T[k+1]) k++;
        if (k==n-1) k=next[k],printf("%d\n",i-n+2);
    }
}

int main(){
    scanf("%s%s",S,T); m=strlen(S); n=strlen(T);
    get_next();
    kmp();
    for (int i=0; iprintf("%d ",next[i]+1);
}