Bresenham 算法详解
这篇文章讲的非常详细，这里列出几点注意事项
1、bresenham的起始点是整数点，所有初始的 error值 由 y1 来计算， 即 m - 0.5
2、当error值大于0时，取了上面的点，A点变成了 y+1 上的A点，所以必须减去1 才能做正确判断。具体参照下面内容的公式推导。
贴上AS3代码
package
{
import flash.display.Bitmap;
import flash.display.BitmapData;
import flash.display.Sprite;
import flash.display.StageScaleMode;
import flash.events.UncaughtErrorEvent;
import flash.geom.Point;
[SWF(frameRate="60", backgroundColor="0",height="600",width="800")]
public class LineTest extends Sprite
{
private var bmd:BitmapData = new BitmapData(800,600, false, 0);
private var bmp:Bitmap = new Bitmap(bmd);
private var error_factor:Number = 0.5;
public function LineTest()
{
stage.scaleMode = StageScaleMode.NO_SCALE;
addChild(bmp);
draw_help3(new Point(0,300), new Point(800,300), 0xffffff);
draw_help3(new Point(400,0), new Point(400,600), 0xffffff);
draw_help3(new Point(400,300), new Point(500,500),0x00ffff);
draw_help3(new Point(400,300), new Point(500,400),0x00ff00);
draw_help3(new Point(400,300), new Point(300,500),0xffff00);
draw_help3(new Point(400,300), new Point(300,400),0x0000ff);
draw_help3(new Point(100,600), new Point(800,10),0xff0000);
}
private function draw_help3(start:Point, end:Point, color:uint):void
{
bmd.lock();
var dx:int = end.x - start.x;
var dy:int = end.y - start.y;
var x:int = start.x;
var y:int = start.y;
var xInc:int;
var yInc:int;
var i:int;
if(dx >=0)
{
xInc = 1;
}else
{
xInc = -1;
dx = -dx;//总共要走多少步
}
if(dy >= 0)
{
yInc = 1;
}else
{
yInc = -1;
dy = -dy;
}
//比较值的时候，都是按照第一象限来比较，只不过，步进的时候，按照 xInc, yInc 来步进
var k2dx:int = 2*dy;
var error2dx:int = k2dx - 1;
var k2dy:int = 2*dx;
var error2dy:int = k2dy - 1;
if(dx >= dy)//近X轴线
{
for(i = 0; i <= dx ; i++)
{
bmd.setPixel32(x,y, color);
if(error2dx > 0)
{
y += yInc;
error2dx = error2dx + k2dx - 2*dx;
}else
{
error2dx = error2dx + k2dx;
}
x += xInc;
}
}else//近Y轴线
{
for(i = 0; i <= dy ; i++)
{
bmd.setPixel32(x,y, color);
if(error2dy > 0)
{
x += xInc;
error2dy = error2dy + k2dy - 2*dy;
}else
{
error2dy = error2dy + k2dy;
}
y += yInc;
}
}
bmd.unlock();
}
private function draw_help2(start:Point, end:Point):void
{
bmd.lock();
var dx:int = end.x - start.x;
var dy:int = end.y - start.y;
var x:int = start.x;
var y:int = start.y;
var k2dx:int = 2*dy;
var error2dx:int = k2dx - 1;
for(var i:int = 0; i < dx ; i++)
{
bmd.setPixel32(x,y, 0xffff00);
if(error2dx > 0)
{
y++;
error2dx = error2dx + k2dx - 2*dx;
}else
{
error2dx = error2dx + k2dx;
}
x++;
}
bmd.unlock();
}
private function draw_help(start:Point, end:Point):void
{
bmd.lock();
//必须是整点
var dx:int = end.x - start.x;
var dy:int = end.y - start.y;
var x:int = start.x;
var y:int = start.y;
var k:Number = dy/dx;
var error:Number = k - 0.5;//初始值
for(var i:int = 0; i < dx ; i++)
{
bmd.setPixel32(x,y, 0xffffff);
if(error > 0)//取右上的点
{
y++;
error = error + k - 1;
}else
{
error = error + k;
}
x++;
}
bmd.unlock();
}
}
}贴图：
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http://wenku.baidu.com/link?url=ova6h39VQ4ilLMIQ51qHpjeuuKu7yLtD1M53NQQc6rUSI9UHymh2r2V8ZZdn6R3bForxZzFf65KO_JCY6flz5A4TU8F4uEHs0N82iCmdQwG
从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。
在生成直线的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一。Bresenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。
一、直线Bresenham算法描述：
二、直线Bresenham算法思想之一：
由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(xi，yi)，它是直线上点(xi，yi)的最佳近似，并且xi=xi(假设m<1），如下图所示。那么，直线上下一个象素点的可能位置是(xi+1，yi)或(xi+1，yi+1)。
由图中可以知道，在x= x i+1处，直线上点的y值是y =m( x i+1)+b，该点离象素点( x i+1， y i)和象素点( x i+1， y i+1)的距离分别是d 1和d 2：
| d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi | (2－8) |
| d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b | (2－9) |
这两个距离差是
| d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1 | (2－10) |
我们来分析公式(2-10)：
(1)当此值为正时，d 1>d 2，说明直线上理论点离( x i+1， y i+1)象素较近，下一个象素点应取( xi+1， y i+1)。
(2)当此值为负时，d 1
(3)当此值为零时，说明直线上理论点离上、下两个象素点的距离相等，取哪个点都行，假设算法规定这种情况下取( x i+1， y i+1)作为下一个象素点。
因此只要利用(d1-d2)的符号就可以决定下一个象素点的选择。为此，我们进一步定义一个新的判别式：
| pi=△x×(d1-d2)=2△y·xi-2△x·yi+c | (2－11) |
式(2-11)中的△x=(x2-x1)>0，因此pi与(d1-d2)有相同的符号；
这里△y=y2-y1，m=△y/△x；c=2△y+△x(2b-1)。
下面对式(2-11)作进一步处理，以便得出误差判别递推公式并消除常数c。
将式(2-11)中的下标i改写成i+1，得到：
| pi+1=2△y·xi+1-2△x·yi+1+c | (2－12) |
将式(2-12)减去(2-11)，并利用xi+1=xi+1，可得：
| pi+1= pi+2△y-2△x·(yi+1-yi) | (2－13) |
再假设直线的初始端点恰好是其象素点的坐标，即满足：
| y1=mx1+b | (2－14) |
由式(2-11)和式(2-14)得到p1的初始值：
| p1=2△y-△x | (2－15) |
这样，我们可利用误差判别变量，得到如下算法表示：
| 初始 p1=2△y-△x | (2－16) | |
| 当pi≥0时： yi+1=yi+1, xi+1=xi+1， pi+1=pi+2(△y-△x) |
||
| 否则： yi+1=yi, |
从式(2-16)可以看出，第i+1步的判别变量pi+1仅与第i步的判别变量pi、直线的两个端点坐标分量差△x和△y有关，运算中只含有整数相加和乘2运算，而乘2可利用算术左移一位来完成，因此这个算法速度快并易于硬件实现。
三、直线Bresenham算法思想之二：
由于象素坐标的整数性，数学点(xi，yi)与所取象素点(xi，yir)间会引起误差(εi)，当xi列上已用象素坐标(xi，yir)表示直线上的点(xi，yi)，下一直线点B(xi+1，yi+1)，是取象素点C(xi+1，yir )，还是D(xi＋1，y(i+1)r)呢？
设A为CD边的中点，正确的选择：
若B点在A点上方，选择D点； 否则，选C点。
用误差式描述为：
| ε(xi+1)=BC-AC=(yi+1-yir)-0.5 | (2－8') |
求递推公式：
| ε(xi+2)=(yi+2-y(i+1)r)-0.5 = yi+1+m-y(i+1)r-0.5 | (2－9') |
当ε(xi+1)≥0时，选D点，y(i+1)r = yir+1
| ε(xi+2)= yi+1+m-yir-1-0.5=ε(xi+1)+m-1 | (2－10') |
当ε(xi+1)﹤0时，选C点，y(i+1)r = yir
| ε(xi+2)= yi+1+m－yir-0.5=ε(xi+1)+m | (2－11') |
初始时：
| ε(xs+1)=BC-AC=m-0.5 | (2－12') |
为了运算中不含实型数，同时不影响不等式的判断，将方程两边同乘一正整数。
令方程两边同乘2·Δx，即d=2·Δx·ε，则：
初始时：
| d = 2·Δy-Δx | (2－13') |
递推式：
| 当d≥0时：{ d=d+2·(Δy－Δx)； y++； x++； } 否则： { d=d+2·Δy； x++； } |
(2－14') |
四、直线Bresenham算法实现：
五、直线Bresenham算法完善：
现在我们修正(2-16)公式，以适应对任何方向及任何斜率线段的绘制。如下图所示，线段的方向可分为八种，从原点出发射向八个区。由线段按图中所示的区域位置可决定xi+1和yi+1的变换规律。
容易证明：当线段处于①、④、⑧、⑤区时，以|△x|和|△y|代替前面公式中的△x和△y，当线段处于②、③、⑥、⑦区时，将公式中的|△x|和|△y|对换，则上述两公式仍有效。
在线段起点区分线段方向
六、直线Bresenham算法演示：
七、直线Bresenham算法特点：
八、直线Bresenham算法程序：