矩阵行列式 和 一系列的数学公式

矩阵的一点知识
一点黑科技

积性函数

1. 常见的积性函数有
2. 除数函数σk(n)=∑d|ndk，表示n的约数的k次幂和，注意σk(n)与σk(n)是不同的。
3. 约数个数函数τ(n)=σ0(n)=∑d|n1，表示n的约数个数，一般也写为d(n)。
4. 约数和函数σ(n)=σ1(n)=∑d|nd，表示n的约数之和。
5. 欧拉函数φ(n)=∑ni=1[(n,i)=1]⋅1，表示不大于n且与n互质的正整数个数，另外∑ni=1[(n,i)=1]⋅i=n⋅φ(n)+[n=1]2，且对于正整数n>2来说φ(n)是偶数。
6. 莫比乌斯函数μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，μ(1)=1，对于无平方因子数n=∏ti=1pi有μ(n)=(−1)t，对于有平方因子数n有μ(n)=0。
7. 元函数e(n)=[n=1]，狄利克雷卷积的乘法单位元，完全积性。
8. 恒等函数I(n)=1，完全积性。
9. 单位函数id(n)=n，完全积性。
10. 幂函数idk(n)=nk，完全积性。

莫比乌斯反演和一些转化

莫比乌斯反演可以用狄利克雷卷积的形式表示出来
f=g×1 f = g × 1 ⇒ g=μ×f g = μ × f
卷积的运算:
f×g(n)=∑d|nf(d)∗g(n/d) f × g ( n ) = ∑ d | n f ( d ) ∗ g ( n / d )
莫比乌斯反演的两种常用形式:
f(x)=∑d|xg(d) f ( x ) = ∑ d | x g ( d ) ⇒ g(x)=∑d|xμ(d)∗f(x/d) g ( x ) = ∑ d | x μ ( d ) ∗ f ( x / d ) 约数形式
f(x)=∑x|dg(d) f ( x ) = ∑ x | d g ( d ) ⇒ g(x)=∑x|dμ(x/d)∗f(d) g ( x ) = ∑ x | d μ ( x / d ) ∗ f ( d ) 倍数形式

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一些有用的公式:

∑ni[gcd(i,n)==1]i ∑ i n [ g c d ( i , n ) == 1 ] i = n∗Φ(n)+e(n)2 n ∗ Φ ( n ) + e ( n ) 2

证明:

∑nii∑d|gcd(i,n)μ(d) ∑ i n i ∑ d | g c d ( i , n ) μ ( d )

∑d|nμ(d)∑nd|ii ∑ d | n μ ( d ) ∑ d | i n i

∑d|n∗μ(d)∗n∗(n/d+1)2 ∑ d | n ∗ μ ( d ) ∗ n ∗ ( n / d + 1 ) 2

n2∗(μ(n)×id(n)+μ(n)×1) n 2 ∗ ( μ ( n ) × i d ( n ) + μ ( n ) × 1 )

n2∗(ϕ(n)+e(n)) n 2 ∗ ( ϕ ( n ) + e ( n ) )

证毕！

id×μ=ϕ i d × μ = ϕ

证明
ϕ×1=id ϕ × 1 = i d
通过莫比乌斯反演得 id×μ=ϕ i d × μ = ϕ

μ×1=e μ × 1 = e