特征值和特征向量的几何意义

大学学习《线性代数》时候，很多概念只知道了定义和式子，并没有理解它们内在的几何含义和应用，研究生阶段因为要求最小二乘意义下方程（超定或欠定）的解，又在网易公开课学习了麻省理工的《线性代数》，不得不说国外课讲的就是好，能让人深入理解向量空间，矩阵空间等概念，更好的学习线性。如今学到无监督机器学习算法—主成分分析（PCA），再来加深一下线性代数的学习，尤其是特征值和特征向量的几何意义。

特征值和特征向量的定义
定义： 设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式
Ax=λx Ax=\lambda x
Ax=λx

成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。求解特征值时，上式可以写为
(A−λE)x=0 (A-\lambda E)x=0
(A−λE)x=0

从几何意义的角度，理解特征值和特征向量
首先得先弄清矩阵的概念：一个矩阵代表的是一个线性变换规则，而一个矩阵的乘法运行代表的是一个变换。
比如有一个矩阵A：
A=(a11a21a12a22) A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}
A=( 
a 
11
​    
 
a 
21
​    
 
​    
  
a 
12
​    
 
a 
22
​    
 
​    
 )

一个列向量为x为：
x=(x1x2) x=\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2}\end{pmatrix}
x=( 
x 
1
​    
 
x 
2
​    
 
​    
 )

一个矩阵的乘法为：
Ax=(a11a21a12a22)(x1x2)=(a11x1+a12x2a21x1+a22x2)=(y1y2)=Y Ax=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1} \\y_{2}\end{pmatrix}=Y
Ax=( 
a 
11
​    
 
a 
21
​    
 
​    
  
a 
12
​    
 
a 
22
​    
 
​    
 )( 
x 
1
​    
 
x 
2
​    
 
​    
 )=( 
a 
11
​    
 x 
1
​    
 +a 
12
​    
 x 
2
​    
 
a 
21
​    
 x 
1
​    
 +a 
22
​    
 x 
2
​    
 
​    
 )=( 
y 
1
​    
 
y 
2
​    
 
​    
 )=Y

所以向量X通过矩阵A这个变化规则就可以变换为向量Y了

在几何上的变换就类似于这样：

知道了这个就可以从几何上理解特征值和特征向量是什么意思了，由
Ax=λx Ax=\lambda x
Ax=λx

可知:
Ax=(a11a21a12a22)(x1x2)=(a11x1+a12x2a21x1+a22x2)=(λx1λx2)=λx Ax=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda x_{1} \\\lambda x_{2}\end{pmatrix}=\lambda x
Ax=( 
a 
11
​    
 
a 
21
​    
 
​    
  
a 
12
​    
 
a 
22
​    
 
​    
 )( 
x 
1
​    
 
x 
2
​    
 
​    
 )=( 
a 
11
​    
 x 
1
​    
 +a 
12
​    
 x 
2
​    
 
a 
21
​    
 x 
1
​    
 +a 
22
​    
 x 
2
​    
 
​    
 )=( 
λx 
1
​    
 
λx 
2
​    
 
​    
 )=λx

所以，确定了特征值之后，向量x的变换为：

引用《线性代数的几何意义》的描述：“矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值”。对于实对称矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交;我们也可以说，一个变换矩阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基;

那么这样定义的特征值和特征向量有什么实际用途呢?在这里我举个数据挖掘算法中重要的一个算法：PCA（主成分分析）来给大家直观的感受一下。

在PCA中应用
首先，理解一下信息量这个概念

看几张图：

如果我们单独看某一个维度的话，比如看x1这个维度:

可以看到将点投影到x1这个维度上看的话，图1的数据离散性最高，图3较低，图2数据离散性是最低的。数据离散性越大，代表数据在所投影的维度上具有越高的区分度，这个区分度就是信息量。如果我们用方差来形容数据的离散性的话，就是数据方差越大，表示数据的区分度越高，也就是蕴含的信息量是越大的。

基于这个知识，如果我们想对数据进行降维的话，比如图1的两个维度的数据降成一维，我们可以选择保留X1这个维度的数据，因为在这个维度上蕴含的信息量更多。

同理，图2就可以保留x2这个维度的数据。但是，问题来了，图3应该保留哪个维度的数据呢？答案是保留哪个维度(x1或x2)都不好，都会丢失较大的信息量。但是，如果我们把图3的坐标轴旋转一下

比较容易看出，图3在新的坐标轴下就能进行降维了。所以选取正确的坐标轴，然后根据各个维度上的数据方差大小，决定保留哪些维度的数据，这样的做法就是主成分分析的核心思想。
选取正确的坐标轴的过程中，我们需要一个矩阵变换，就类似于这样：

也就是：

其实，经过数学上的推导的，我们就可以知道，特征值对应的特征向量就是理想中想取得正确的坐标轴，而特征值就等于数据在旋转之后的坐标上对应维度上的方差。（这句话直接点中了主成分分析算法的原理，进一步理解可看本博主的关于主成分分析算法原理的博文）

也就是说，直接求出矩阵A的特征向量得出对应的特征向量。我们就能找到旋转后正确的坐标轴。这个就是特征值和特征向量的一个实际应用：“得出使数据在各个维度区分度达到最大的坐标轴。”

所以，在数据挖掘中，就会直接用特征值来描述对应特征向量方向上包含的信息量，而某一特征值除以所有特征值的和的值就为：该特征向量的方差贡献率（方差贡献率代表了该维度下蕴含的信息量的比例）。

**通常经过特征向量变换下的数据被称为变量的主成分，当前m个主成分累计的方差贡献率达到一个较高的百分数（如85%以上）的话，就保留着这m个主成分的数据。**实现了对数据进行降维的目的。整个主成分分析的算法原理也就是这个。

参考
https://blog.csdn.net/fuming2021118535/article/details/51339881
https://www.cnblogs.com/fuxueming/p/6551625.html
《线性代数的几何意义》
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转自：https://blog.csdn.net/qq_36653505/article/details/82025971