最优化方法在图像处理中的应用【5】

最优化方法在图像处理中的应用【5】

分类： image process optimization 数学 2013-09-23 21:34  42人阅读  评论(0)  收藏  举报

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好吧，我想理解下Convex function(凸函数)。

定义！

A function  f : R^n -> R is convex if dom f is a convex set and if for all x,y belongs to dom f and theta with 0<=theta<=1, we have

                                     f(theta*x+(1-theta)*y) <= theta*f(x) + (1-theta)*f(y)

可以用下面的图看看凸函数。

从定义中我们可以得到如下信息：

* 函数f的定义域存在于N维空间。

* 凸函数的定义域是一个凸集。

* 函数满足一个不等式，这个不等式大家都叫Jensen's inequality. 

更进一步：

* 凸函数的定义域是个凸集，并且满足Jensen不等式，那么它在定义域的内部一定是连续的，它唯一可能不连续的点只可能在边界上。假设存在不连续点，一定可以推翻Jensen不等式！

其实凸函数还有一些性质，我们不多做研究，继续看凸优化。

一个条件（First-Order Conditions）

Suppose f is differentiable. Then f is convex if and only if 

  * dom f is convex

  * f(y) >= f(x) + ∇f(x)^T (y-x) 

可知：

* 大前提是f可微！

* 定义域是凸集

* 满足不等式，这个不等式的右边就是多元函数在x点展开的前两项

对于一维函数的情况，我们也可以从图形上理解一下

Second-order conditions

We now assume that f is twice differentiable, that is, its Hessian or second derivative exists at each point in dom f, which is open. 

Then f is convex if and only if dom f is convex and its Hessian is positive semidefinite: for all x belongs to dom f, Hessian(f) >= 0

我不明白为什么冒号后面加的那句。！！！

难道这是半正定矩阵的充分必要条件，还是另外的一个新条件呢？？？？

有谁知道的，麻烦留言额。。。。。。。。。。。。。。。