最优化方法在图像处理中的应用【5】

最优化方法在图像处理中的应用【5】

分类: image process optimization 数学   42人阅读  评论(0)  收藏  举报

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好吧,我想理解下Convex function(凸函数)。

定义!

A function  f : R^n -> R is convex if dom f is a convex set and if for all x,y belongs to dom f and theta with 0<=theta<=1, we have

                                     f(theta*x+(1-theta)*y) <= theta*f(x) + (1-theta)*f(y)

可以用下面的图看看凸函数。

最优化方法在图像处理中的应用【5】_第1张图片

从定义中我们可以得到如下信息:

* 函数f的定义域存在于N维空间。

* 凸函数的定义域是一个凸集。

* 函数满足一个不等式,这个不等式大家都叫Jensen's inequality. 


更进一步:

* 凸函数的定义域是个凸集,并且满足Jensen不等式,那么它在定义域的内部一定是连续的,它唯一可能不连续的点只可能在边界上。假设存在不连续点,一定可以推翻Jensen不等式!

其实凸函数还有一些性质,我们不多做研究,继续看凸优化。


一个条件(First-Order Conditions)

Suppose f is differentiable. Then f is convex if and only if 

  * dom f is convex

  * f(y) >= f(x) + ∇f(x)^T (y-x) 

可知:

* 大前提是f可微!

* 定义域是凸集

* 满足不等式,这个不等式的右边就是多元函数在x点展开的前两项

对于一维函数的情况,我们也可以从图形上理解一下

最优化方法在图像处理中的应用【5】_第2张图片



Second-order conditions

We now assume that f is twice differentiable, that is, its Hessian or second derivative exists at each point in dom f, which is open. 

Then f is convex if and only if dom f is convex and its Hessian is positive semidefinite: for all x belongs to dom f, Hessian(f) >= 0

我不明白为什么冒号后面加的那句。!!!

难道这是半正定矩阵的充分必要条件,还是另外的一个新条件呢????

有谁知道的,麻烦留言额。。。。。。。。。。。。。。。

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