点扩散函数point spread function (PSF)

概述

点扩散函数（point spread function (PSF) 以下均使用PSF缩写）描述了一个成像系统对一个点光源（物体）的响应。PSF的一般术语就是系统响应，PSF是一个聚焦光学系统的冲击响应。在大多情况下，PSF可以认为像是一个能够表现未解析物体的图像中的一个扩展区块。函数上讲，PSF是成像系统传递函数的空间域表达。PSF是一个重要的概念，傅里叶光学、天文成像、医学影像、电子显微学和其他成像技术比如三维显微成像和荧光显微成像都有其身影。一个点状物体扩散（模糊）的度（degree）是一个成像系统质量的度量。在非相关成像系统中（荧光显微、望远镜、显微镜…），成像过程是在能量上是线性的，可以通过线性系统理论来表达。这里指的是，A和B两个物体同时成像的时候，成像结果等同于A、B两物体独立成像的结果之和。或者说，A物体的成像不会受B物体成像的影响，反之亦然（这是由光子的非相交互性non-interacting property of photons决定的）。更为复杂物体的图像可以看做是真实物体和PSF的卷积。然而，当检测到的光线是相干的（coherent），图像成形在复数域内是线性的。记录一个强度图像可能会产生消除或者非线性效果。

介绍

由于光学系统的线性特点，i.e.
Image(Object1 + Object2) = Image(Object1) + Image(Object2)
一个物体在显微镜或望远镜下的图像可以通过 表示物体平面域（object-plane field ）为2维冲击函数的加权和 并且 表示像平面域为这些冲击函数图像的加权和 来计算。这是线性系统的叠加原理。单个物体平面冲击函数的图像成为点扩散函数，它反映了物体平面的光线的一个数学点被扩展，在像平面上形成一个有限的区域（在数学和物理的某些分支，这可能被称为格林函数Green’s function 或者冲击响应函数）。
当物体被分为不同强度的离散点对象时，图像可以计算为每个点的PSF的和。因为PSF通常由成像系统完全确定，整个图像可以通过获取系统的光学参数来说明。这个过程通常是由一个卷积方程制定。在显微图像处理和天文图像中，获取测量系统的PSF对于使用反卷积恢复（复原）（原始）图像是十分重要的。

理论

PSF可能与物体平面的位置无关，这里PSF称为是漂移不变的。除此之外，如果系统没有畸变，图像平面坐标系和物体平面坐标系是线性相关的，可以通过放大系数（矩阵）M：
(x_i, y_i) = (M x_o, M y_o).
如果成像系统输出了一个翻转的图像，我们仅仅认为图像平面坐标轴和图像平面坐标轴翻转而已。基于这两个假设， i.e. PSF是漂移不变的并且没有畸变，计算图像平面卷积积分是一个十分简单的过程。
数学上我们表示物体平面域为：
O(x_o,y_o) = \int!!\int O(u,v) ~ \delta(u-x_o,v-y_o) ~ du, dv
i.e.作为冲击函数的加权和，尽管这仅仅表示了二维delta函数的筛选性质（后面继续讨论）。以如上的形式重写物体的透射函数，使得我们计算图像平面域为每个单独冲击函数图像的叠加， i.e. 图像平面内权重点的PSF叠加，并且在物体平面使用相同的权重函数 i.e.
O(x_o,y_o). 数学上，图像表示为：
I(x_i,y_i) = \int!!\int O(u,v) ~ \mathrm{PSF}(u-x_i/M , v-y_i/M) , du, dv
其中PSF(u−xi/M, v−yi/M) 是冲击函数δ(u−xo, v−yo)的图像。
二维冲击函数可以认为是正四棱柱函数的极限（当w尺度趋近于0时），如下图所示。

我们想象物体平面被分解为多个小方块，每个方块有自己相关的正四棱柱函数。如果高度h保持在1/w^2，则当边长尺度w趋近于0的时候，该正四棱柱的体积保持为1不变。这就赋予了二维冲击以筛选的性质，也就是说，当二维冲击函数δ(x − u,y − v)相对任何其他连续函数f(u,v)积分的时候，它会筛选出冲击位置的f值，比如在点(x,y)时。
由于理想的点光源物体的概念对PSF的理念十分重要，我们先研究它。首先要说明的是，自然界中不存在数学上理想的点光源发光体；这个概念是非物理的（现实存在的），并且仅仅是一个为了认知光学成像系统和使用模型的数学概念。点光源概念的作用是，在一个二维物体平面上，一个点光源只能发出理想的等幅度球面波 – 一种有着理想球面，相前外向传播（outward travelling phase fronts），并且同球面有着相同的强度的波~（惠更斯原理）。这样的理想点光源如下图所示。注意，理想点光源发光体不仅发出传播平面波的均匀频谱，而且发也出指数衰减波的均匀频谱，并且正是这些决定了超过一个波长的分辨率。这服从以下而维冲击函数的傅里叶变换，
\delta (x,y) \propto \int!!\int e^{j(k_x x + k_y y)} , d k_x, d k_y
这个二次透镜截断了这个球形波的一部分，并且将其重新聚焦于图像平面的一个模糊点。对于单镜片，一个在主轴的物体平面的点光源会在成像平面产生一个艾里斑（Airy disc）。可以证明（傅里叶光学，惠更斯原理，夫琅禾费衍射），一个平面物体的辐射域是与其相对应的由傅立叶变换关系产生的光源或图像平面分布有关的。除此之外，一个对应艾里函数圆形区域的均匀函数（在一个傅立叶变换域），J1(x)/x 在另一个傅立叶变换域，其中J1(x) 是第一类一阶贝塞尔函数。也就是说，一个能够传递会聚均匀球形波的均匀光照圆孔会在焦距平面产生一个艾里函数图像。一个二维艾里函数如相图所示。
因此，一个如图所示的会聚球形波在成像平产生一个艾里斑。艾里函数的参数十分重要，因为这决定了艾里斑的尺度。如果Θmax是会聚波在光轴产生的最大角度，r是成像平面的径向距离，波数k=2π/λ 其中λ = 波长，这样，艾里函数的参数就是kr tan(Θmax)。如果Θmax很小（只有会聚球面波的一小部分成像），镜像距离r在艾里函数的全部参数离开中心点之前会非常大。换句话说，如果Θmax很小，艾里斑会非常大（傅里叶变换对的海森堡测不准原理，名义上一个域的很小的范围对应另一个域很宽的范围，并且这两个空间带宽乘积相关）。所以，对于高倍率系统（通常有较小的Θmax，阿贝正弦条件）通常会在成像有更大的模糊，因为其有更宽的PSF。PSF的大小与放大倍率成比例，所以相对而言模糊没有变大，但是绝对值上是增大了。

如上图所示，显示了球面入射波被镜片所截断。为了度量镜片的点扩散函数（冲击响应函数），我们不需要一个会发出理想球面波的理想点光源。这是因为镜片只有有限的（角）带宽，或者有限的拦截角。因此对于光源中包含的任意角带宽，对于那些可以扩展超过镜片的边缘角的，（分布在系统带宽之外），肯定会浪费了光源的带宽，因为镜头无法拦截它，以便对其进行处理。因此，为了度量理想PSF，不必须一个理想的点光源。我们只需一个光源，它满足至少有跟镜片被测试的一样多的角带宽。换句话说，我们只需要一个由会聚均匀球面波产生的点光源，这个球面波的半角大于镜片的边缘角。

历史和方法

早在19世纪艾里开始研究PSF衍射理论。他提出了没有像差的理想仪器的PSF幅度和强度的表达方式。在1930–40年代，荷兰物理学家 Frits Zernike 和Nijboer研究了接近最佳焦平面有像差的PSF原理。其中的一个关键点是Zernike的圆多项式，它可以表示任意旋转对称的光学系统的像差。近期研究拓展了Zernike 和Nijboer的PSF评估方法，使之可以适用于最佳焦平面周边很大的体积内成立。扩展的Nijboer-Zernike (ENZ) 理论对于研究三维物体在
共聚焦显微镜非或者天文学中的非理想成像（在非理想成像条件下）有重要意义。ENZ理论已经应用于光学仪器的鉴定中（通过测量过焦强度分布）和应用于解决响应的反问题。

显微镜中的PSF

在显微镜中，通过实验获取PSF需要亚分辨率（点状）辐射源。为此，通常使用量子点和荧光珠。上述理论模型另一方面可以使得不同成像条件下的PSF的详细计算成为可能。PSF的最紧凑的衍射极限形状是首选。通过使用适当的光学元件（i.e.一个空间光调制器），PSF的形状可以面向多种应用去设计。

天文学中的PSF

在天文观测中，由于有很充足的点光源，PSF的实验确定十分简单。PSF的形成和光源可能依使用光学仪器和环境而变化。
对于射电望远镜和衍射受限空间望远镜，PSF的主项可以从傅里叶域的孔径配置中推断出来。实际上在光学系统中可能会有不同的元件构成的多项。一个完整的PSF描述还要包括检测器的光（光电子）衍射和电镜的追踪误差。
对于地基的光学望远镜，大气湍流在PSF中占主要影响。在地基的自适应光学系统中，PSF是残余未矫正的大气条件和系统孔径的组合。

眼科的PSF

点扩展函数最近已成为眼科临床有用的诊断工具。用波前传感器测量患者的眼睛，并且专用软件计算其PSF。以这种方式，医生可以“看到”病人看到的。这种方法还允许医生模拟潜在的治疗方法，并了解这些治疗方法将怎样改变病人的PSF。此外，一旦测量后，PSF可以使用自适应光学系统而最小化。这样，在使用CCD的同时，可以被用于可视化本来不可见的解剖结构，如锥感光细胞。

References

Jump up ^ Light transmitted through minute holes in a thin layer of silver vacuum or chemically deposited on a slide or cover-slip have also been used, as they are bright and do not photo-bleach. S. Courty, C. Bouzigues, C. Luccardini, M-V Ehrensperger, S. Bonneau, and M. Dahan (2006). “Tracking individual proteins in living cells using single quantum dot imaging”. In James Inglese. Methods in enzymology: Measuring biological responses with automated microscopy, Volume 414. Academic Press. pp. 223–224. ISBN 9780121828196.

Jump up ^ P. J. Shaw and D. J. Rawlins (August 1991). “The point-spread function of a confocal microscope: its measurement and use in deconvolution of 3-D data”. Journal of Microscopy (Wiley Online Library) 163 (2): 151–165. doi:10.1111/j.1365-2818.1991.tb03168.x.

Rachel Noek, Caleb Knoernschild, Justin Migacz, Taehyun Kim, Peter Maunz, True Merrill, Harley Hayden, C.S. Pai, and Jungsang Kim. “Multi-scale Optics for Enhanced Light Collection from a Point Source” (PDF). Optics Letters (June 2010). arXiv:1006.2188. Bibcode:2010OptL…35.2460N. doi:10.1364/OL.35.002460.