算法分析及实例解析（一）——分治法

分治法（divide and conquer）

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决，则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立，且与原问题形式相同，递归地解决这些子问题，然后将各子问题的解合并，得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治策略。

分治法在每层递归上由三个步骤组成：

• 1）划分（divide）：将原问题分解成若干规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。
• 2）解决（conquer）：若子问题规模较小，则直接求解，否则递归求解各子问题。
• 3）合并（combine）：将各子问题合并为原问题的解。

分治法有哪些经典例子呢？那可就多了，比较常见的将在下面一一列出分析。

二分法查找

二分法解决的基本问题是，在已知的n个已序数列中，查找给定元素是否存在。二分法的基本思想用到了二叉查找树的结构。

下面我们给出其c++程序代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
int * rand_seq(int num)//产生num个随机序列
{
	int *tem=new int[num]; 
	srand((unsigned)time(NULL));
	for(int i=0;i(std::cout," "));
	std::cout<

找最大值与最小值

问题描述：在n个不同元素的集合中，同时找出它的最大值和最小值。

采用普通的遍历法，最坏情况比较次数为2（n-1），分治法比较次数为3n/2-2，且看代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
int * rand_seq(int num)//产生num个随机序列
{
	int *tem=new int[num]; 
	srand((unsigned)time(NULL));
	for(int i=0;i(std::cout," "));
	std::cout<*end)?(res_max=*begin,res_min=*end):
					  (res_max=*end,res_min=*begin);
	}else
	{
		int *mid=begin+(end-begin)/2;
		int lmax=INT_MIN,rmax=INT_MIN,lmin=INT_MAX,rmin=INT_MAX;
		rec_MaxMin(begin,mid,lmax,lmin);
		rec_MaxMin(mid+1,end,rmax,rmin);
		res_max=std::max(lmax,rmax);
		res_min=std::min(lmin,rmin);
	}
} 

int main(int argc, char** argv) 
{
	int *data=rand_seq(20);
	print_seq(data,20);
	//先赋初值，INT_MAX和INT_MIN在limits.h中定义 
	int max=INT_MIN;
	int min=INT_MAX;
/*	std::cout<  
  
求第k小元素问题
 
  
 
  
这个问题是由求最大值最小值问题引申出来的，问题描述：在n个不同元素的集合中，找出它的第k小值。该问题又叫选择问题。
 
  
当1
 
  
如果采用快速排序中的分划方法，以主元为基准，将一个表划分成左右两个子表。设原表长为n，假定经过一趟分划，分成两个左右子表，其中左子表是主元及其左边元素的子表，设其长度为p，右子表为主元右边元素的子表。那么如果k==p，则主元就是第k小元素；若k
 
  
下面上两种思路的代码：
 
  
 
    
   
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
int * rand_seq(int num)//产生num个随机序列
{
	int *tem=new int[num]; 
	srand((unsigned)time(NULL));
	for(int i=0;i(std::cout," "));
	std::cout<data[left])?((rightdata[right])?right:left):((rightdata[right])?right:key);
		if(min_index!=key)
		{
			std::swap(data[key],data[min_index]);
			adjust_heap(data,min_index,num);
		}	
	}
}
void build_heap(int *data,int num)
{
	int max_index=(num-1)/2;
	for(int i=max_index;i>=0;i--)
		adjust_heap(data,i,num);
}

int k_min_heap(int *data,int num,int k)
{
	build_heap(data,num);
	for(int i=1;item) --right;
			while((left
 
  
 
  
 
  
 
 
  
归并排序&快速排序
 
  
 
    
   
 
 
   
这两种排序方法，都是利用分治排序的经典例子，尤其是归并排序：分解、排序、合并。
 
   
 
    关于这两种方法的详细介绍，参考我的另一篇博文《排序总结：堆排序、快速排序、归并排序、基数排序》