[EE261学习笔记] 4.常用的几个傅里叶变换相关公式
在本文开始前，需要说明一点，以下推导出的各项公式，只是为了实际计算中方便，并不都有其对应的物理意义。
首先，我们写出符号 f − ( t ) = f ( − t ) f^-(t) = f(-t) f−(t)=f(−t)，显然，对于奇函数而言， f − = − f f^- = -f f−=−f；对于偶函数而言， f − = f f^- = f f−=f。
根据前文傅里叶变换推导，我们知道
F f ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t (1) \mathscr{F}f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist} f(t)dt\tag1 Ff(s)=∫−∞+∞e−2πistf(t)dt(1)
F − 1 g ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i s t g ( s ) d s (2) \mathscr{F}^{-1}g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi ist} g(s)ds\tag2 F−1g(t)=∫−∞+∞e2πistg(s)ds(2)
由 ( 1 ) (1) (1)式，我们有
( F f ) − ( s ) = F f ( − s ) = ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π i ( − s ) t f ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i s t f ( t ) d t (3) \begin{aligned} (\mathscr{F}f)^-(s) = \mathscr{F}f(-s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi i(-s)t} f(t)dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi ist} f(t)dt\tag3 \end{aligned} (Ff)−(s)=Ff(−s)=∫−∞+∞e−2πi(−s)tf(t)dt=∫−∞+∞e2πistf(t)dt(3)
我们再令 ( 2 ) (2) (2) 式中的 s = t , t = s s=t, t=s s=t,t=s，得到
F − 1 g ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i s t g ( t ) d t (4) \mathscr{F}^{-1}g(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi ist} g(t)dt\tag4 F−1g(s)=∫−∞+∞e2πistg(t)dt(4)
由 ( 3 ) (3) (3)、 ( 4 ) (4) (4)，我们得到
( F f ) − = F − 1 f (5) (\mathscr{F}f)^- = \mathscr{F}^{-1}f \tag5 (Ff)−=F−1f(5)
再来看另一个变换
F ( f − ) ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π i s t f − ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π i s t f ( − t ) d t \begin{aligned} \mathscr{F}(f^-)(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist} f^-(t)dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist} f(-t)dt \end{aligned} F(f−)(s)=∫−∞+∞e−2πistf−(t)dt=∫−∞+∞e−2πistf(−t)dt
运用换元法，令 u = − t u=-t u=−t，我们有：
F ( f − ) ( u ) = ∫ + ∞ − ∞ e − 2 π i ( − u ) t f ( u ) d ( − u ) = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i u t f ( u ) d u = F − 1 f ( u ) \begin{aligned} \mathscr{F}(f^-)(u) &=\int_{+\infty}^{-\infty} e^{-2\pi i(-u)t} f(u)d(-u)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi iut} f(u)du\\ &=\mathscr{F}^{-1}f(u) \end{aligned} F(f−)(u)=∫+∞−∞e−2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫−∞+∞e2πiutf(u)du=F−1f(u)
要注意，等式左边的 F ( f − ) ( u ) \mathscr{F}(f^-)(u) F(f−)(u) 中的 ( u ) (u) (u) 仅表示该式是关于 u u u 的函数，因此不用改写为 − u -u −u
因此我们有：
F ( f − ) = F − 1 f (6) \mathscr{F}(f^-) = \mathscr{F}^{-1}f \tag6 F(f−)=F−1f(6)
接下来我们计算 F − 1 ( f − ) \mathscr{F}^{-1}(f^-) F−1(f−)，根据 ( 2 ) (2) (2)式，我们有：
F − 1 f − ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i s t f − ( s ) d s = ∫ − ∞ + ∞ e 2 π i s t f ( − s ) d s \begin{aligned} \mathscr{F}^{-1}f^-(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi ist} f^-(s)ds\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2\pi ist} f(-s)ds\\ \end{aligned} F−1f−(t)=∫−∞+∞e2πistf−(s)ds=∫−∞+∞e2πistf(−s)ds
同样地，运用换元法，令 u = − s u=-s u=−s，我们可以得到
F − 1 f − ( u ) = ∫ + ∞ − ∞ e 2 π i ( − u ) t f ( u ) d ( − u ) = ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π i u t f ( u ) d u = F f ( u ) (7) \begin{aligned} \mathscr{F}^{-1}f^-(u) &=\int_{+\infty}^{-\infty} e^{2\pi i(-u)t} f(u)d(-u)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi iut} f(u)du\\ &=\mathscr{F}f(u)\tag7 \end{aligned} F−1f−(u)=∫+∞−∞e2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫−∞+∞e−2πiutf(u)du=Ff(u)(7)
注意，傅里叶变换满足性质：
F F − 1 f = F − 1 F f = f (8) \mathscr{F}\mathscr{F}^{-1}f = \mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f = f\tag8 FF−1f=F−1Ff=f(8)
因此，由 ( 8 ) (8) (8) 式，我们可以对 ( 7 ) (7) (7) 式的等号两端同时进行傅里叶变换，得到以下结论：
F F f = f − \mathscr{F}\mathscr{F}f = f^- FFf=f−
即，对一个函数进行两次傅里叶变换的结果，等于原函数取反
小结一下本文，并给出一个实际应用：
我们主要得到了以下几个傅里叶变换的实用公式：
( F f ) − = F − 1 f = F ( f − ) \huge (\mathscr{F}f)^- = \mathscr{F}^{-1}f = \mathscr{F}(f^-) (Ff)−=F−1f=F(f−)
F F f = f − \huge \mathscr{F}\mathscr{F}f = f^- FFf=f−
注意这些公式不一定都有相应的物理意义，但是在实际使用中可以大大简化我们的计算量
例：求 s i n c sinc sinc 函数的傅里叶变换
如果直接求解，会变得非常麻烦，于是我们使用上述公式， F F f = f − \mathscr{F}\mathscr{F}f = f^- FFf=f−。在之前的讨论中，我们知道对矩形函数，即 Π \Pi Π函数进行傅里叶变换可以得到 s i n c sinc sinc 函数，因此我们有
F s i n c = F F Π = Π − \mathscr{F}sinc = \mathscr{F}\mathscr{F}\Pi = \Pi^- Fsinc=FFΠ=Π−
而由 Π \Pi Π 函数的定义，可知它是一个偶函数
因此我们可以直接得出
F s i n c = Π \mathscr{F}sinc = \Pi Fsinc=Π