线性代数复习八——正交性、二次型和对称矩阵

定义:
內积(点积):如果UVRnNX1矩阵定义它们的点积UV,我们将其记为一个不加括号的实数(类比两向量相乘)
向量的长度:类比向量的模,即为向量的长度
向量UV之间的距离这里写图片描述
正交向量:如果UV=0,则两个向量UV是正交的
正交补:与子空间W正交的向量Z的全体组成的集合成称为W的正交补,记作WT
正交集Rn中的向量集合这里写图片描述称为正交向量集,如果集合中的任意两个不同向量都正交
单位正交集:如果一个正交集是由单位向量构成,称为单位正交集
正交投影:类似于一个矢量在一个方向上的分量,记为这里写图片描述
正交矩阵:一个正交矩阵U是一个可逆的方阵,且满足这里写图片描述
正交对角化:如果存在一个正交矩阵P(满足P-1=PT)和一个对角矩阵D使得:这里写图片描述那么A称为可正交对角化
二次型RN上的一个二次型是一个定义在RN上的函数,它在向量X处的值可由表达式Q=XTAX计算,此处A是一个NXN对称矩阵,且矩阵A称为关于二次型的矩阵

定理:
两个向量UV是正交的充要条件是这里写图片描述
假设AMXN矩阵,那么A的行向量空间的正交补空间是A的零空间,且A的列向量空间的正交补是AT的零空间
这里写图片描述这里写图片描述
一个MXN矩阵U具有单位正交列向量的充要条件是这里写图片描述

一个NXN矩阵A可正交对角化的充要条件是A是对称矩阵
A是一个NXN对称矩阵,那么存在一个正交变量变换X=PY,它将二次型这里写图片描述变换为不含交叉项的二次型YTDY,矩阵P的列称为二次型这里写图片描述主轴
A是一个NXN对称矩阵,那么一个二次型是:
正定的:对所有的X!=0Q》0,当且仅当A的所有特征值是正数
负定的:对所有的X!=0,Q<0,当且仅当A的所有特征值是负数
不定的:对所有的X!=0,Q既有正值也有负值,当且仅当A的特征值既有正数,也有负数

格拉姆——施密特正交化的意义:
首先选取一个向量作为基中的一个向量,以后的每一步都是选定的向量减去在已选定向量上的投影,因此,每一次算出来的向量与原来所有向量都是正交的,最后将其单位化,即可得到单位正交基

主轴的意义:
R2中所有满足这里写图片描述(c是一个常数)的所有x的集合对应一个椭圆(圆)、双曲线、两条相交直线、单个点或不含任意点,如果A是一个对角矩阵,那么x的集合是标准位置,如果A不是对称矩阵,那么x的集合就是标准位置的旋转,找到主轴(由A的特征向量决定)等同于找到一个新的坐标系统,在该系统下其图形是标准位置的图形!
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线性代数的主要内容到此基本结束,如果感兴趣的话,当然还有更多的扩展内容,例如矩阵的LU分解,QR分解,SVD分解等等,考虑到考研中并不涉及到这部分,而且时间有限,只能割爱
祝愿大家能够在线性代数中得到更多的快乐
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