色调分离

题目描述

数字图像的像素可以用三个0-255之间的整数表示，它们分别表示红色、绿色和蓝色的强度。为了压缩图片或是为了产生艺术效果，许多图像编辑工具收录了如下所述的“色调分离”操作。每个颜色通道会分别考虑，本题只考虑红色通道的情况。不同于在红色通道使0-255 之间全部的整数，一张色调分离后的图片只会使用这些数字里至k种整数。每个像素原来的红色强度会被替换成最相近的可用强度。图像编辑工具会选k个整数来最小化替换过程引起的平方误差之和。假设原图n个像素，它们的红色取值r1,⋯,rn，k种可用整数v1,⋯,vk ，那么平方误差之和被定义为$$\sum _1^{n}min(ri-vj{)}^2$$你的任务是计算可以实现的最小平方误差之和，参数k和图片的红色强度会给出。

题解

我们发现这些$ri$肯定是连续一段一段地被$vj$转移的，我们容易想到设计一个DP，$f[i][j]$表示到前i个数用了j个数的最佳答案。但是我们会暂时陷入如果下一块和上一块共用一种颜色我的转移不是亏了吗，或者说错了吗。其实我们大可不必担心，因为我们只要保证我们设计出来的状态能包括到最优的状态就不用担心那些不符合要求的且更次的答案。
于是我们可以不管这个区间到底选择了什么值，我们只要知道一个区间应该选什么值就可以了，可以预处理出一个区间选择什么值是最小的.$$f[i][j]=min(f[k][j-1]+cost[k+1][i])$$

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define maxn 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){
    LL res=0,f=1; char c;
    while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') f=-1;
    res=c^48;
    while(isdigit(c=getchar())) res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);
    return res*f;
}
LL n,m,mx,r[maxn],p[maxn],cost[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) mx=max(mx,(r[i]=read())),p[i]=read();
    memset(cost,0x3f,sizeof cost);
    for(int i=0;i<=mx;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){ LL w=00;
            for(int k=j;k<=n;k++){
                w+=(r[k]-i)*(r[k]-i)*p[k];
                cost[j][k]=min(cost[j][k],w);
            }
        }
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f); f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=0;k