【线性代数】理解矩阵变换及行列式的本质

参考：行列式的本质是什么？

这篇文章的结构是：

• 线性变换的几何直观

• 实现线性变换的矩阵

• 行列式

一、线性变换的几何直观

线性变换的几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线

• 直线比例保持不变

• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

二、实现线性变换的矩阵

矩阵可以讲的东西非常多，这里通过一个具体的例子来展示下矩阵是如何完成线性变换的。

把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。

举例子来看看，比如旋转（旋转矩阵）：

如果要说详细点，实际上：

在参考文章中有一个可操作实例，建议去操作一下，以加深印象。

再给一个例子，看看推移是怎么改变基的：

三、行列式

3.1 行列式是线性变换的伸缩因子（负值为反向收缩），准确来讲缩放的倍数为

我们还是拿旋转矩阵来举例子：

什么意思？我们来看看：

在原文中，依旧有一个可操作的实例，可以感受不同行列值大小对线性变换所带来的影响。

掌握了行列式是线性变换的伸缩因子这一点之后，我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系。

3.2 行列式大于0，以下记线性变换矩阵为

1、，很显然对于图形有放大的作用：

2、，图形的大小不会变换：

3、，很显然对于图形有缩小的作用：

3.3 

行列式等于0，有一个重要的结论是，矩阵不可逆。这点也很好理解。

先看看什么是可逆。原始的图形是这个样子：

通过旋转矩阵，逆时针旋转：

再通过另外一个旋转矩阵，顺时针旋转：

看起来这个正方形就像没有变换过一样，因此和互为逆矩阵。

有的线性变换是可逆的，有的不行，比如这样的线性变换就是不可逆的。从图像上看，图形会缩成一点或者一个超平面：

或者缩成一条直线：

没有矩阵可以把它们恢复成原来的样子。

这就好比摔碎的鸡蛋、泼出去的水、破了的镜子：

所谓覆水难收、破镜难圆就是这个意思。

3.4 

原始图像是这样的：

被的矩阵线性变换后是这样的：

，其实就是改变了基的“左右手法则”。

四、推论

1、矩阵乘法与行列式乘法

知道了行列式的意义，我们就很容易知道，为什么说：

稍微解释一下，矩阵乘法之所以不成立，本质上是因为——矩阵都代表在基下的线性变换，虽然直观上理解与都做了同样的线性变换，只是顺序不同并不应该影响结果。但实际上，我们必须要注意一点，即虽然矩阵都是或者的形式，但变换的形式是相对于基而言的，同一个线性变换矩阵在不同基下进行的线性变换实际上是不同的。（更详细的理解可以参考相似矩阵）

即对于，先在基下进行的线性变换，然后再在基下进行的线性变换。此时的变换进行的操作（如推移或旋转）实际上是不等同于在基下进行的变换的。

对于同理也可以这么理解，最后就显而易见矩阵乘法的交换率是不成立的。

但在某些特殊情况下，矩阵乘法的交换律依旧成立。

(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换;

(2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换;

(3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵（） 则A , B可交换;

(4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换;

(5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换;

还有一种情况就是二维矩阵的旋转变换。但三维及以上就不成立了。

第二点是行列式乘法。经过上面的一堆介绍，至少可以明白矩阵行列式是线性变换的伸缩因子，方阵线性变换由三部分组成——推移、旋转、伸缩。行列式的值表示了伸缩的比例，不论是还是，其伸缩结果都是（设原基向量的长度为 ）。

2、我们也很容易知道，为什么说：

这是因为：

我们也很容易知道，为什么说三阶矩阵的行列式是列组成的平行六面体的体积。

五、小结

本节主要讲解了以下几个知识点:

1. 矩阵线性变换实际上是改变了基向量的长度或者方向。
2. 矩阵线性变换对基向量方向的改变形式——推移或者旋转。
3. 矩阵行列式的值为基向量的伸缩因子。
4. 矩阵不可逆的线性变换解释。
5. 从线性变换的角度解释了矩阵乘法交换律的不可行性。