台大-林轩田老师-机器学习基石学习笔记14

上一讲讲的是过拟合的原因，并且也介绍了一点，解决过拟合的方法。此讲重点介绍其中的一种最为常用的方法，正规化（Regularized）。
我们上一节讲说了一个过拟合的例子：

step back不仅用于篮球中

我们也知道了，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然 Ein E i n 很小，但是 Eout E o u t 很大，也就造成了过拟合现象。
我们的正则化的方法呢是希望从高次多项式返回到低次多项式，这个方法的历史原型是：人们为了求得逼近某个函数，而能做到这个的我们有一个方法称为step back:
在我们的学习体系中加上一些条件（constrain）
具体的数学推倒很多相关的blog都有介绍，这里我重点放在我们逼近后的这个函数的一些特点：

我们想方设法将之前的线性回归的回归函数，（以线性为例）我们希望其系数很多都是0只有少数是1，这样的变化就是相当于给我们的函数加上了一些条件：

举个例子：
如何从10阶转换为2阶呢？首先， H10 H 10 可表示为：

H10 H 10 = w0 w 0 + w1x1 w 1 x 1 x+ w2x2 w 2 x 2 + w3x3 w 3 x 3 +⋯+ w10x10 w 10 x 10

而 H2 H 2 可表示为：

H2 H 2 = w0 w 0 + w1x1 w 1 x 1 x+ w2x2 w 2 x 2

所以，如果限定条件是 w3 w 3 = w4 w 4 =⋯= w10 w 10 =0，那么就有 H2=H10 H 2 = H 10 。也就是说，对于高阶的假设函数，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重w限制为0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶，fit波形更加平滑，不容易发生过拟合。
这样就比较容易理解的解释了上面的式子。
我们注意到这个3将会是一个常数，我们对这个常数起一个名字叫C，所有的权重w的平方和的大小不超过C，我们把这种假设集记为H(C)。

这个集合的规律老师的ppt总结的一样，非常的有特点。

我们需要有个上限

我们要有一个上限的安排，避免在逼近的过程中丧失拟合的效果。
∑∥∥w2∥∥<C ∑ ‖ w 2 ‖ < C
这些个权重被限定在半径为 C−−√ C 的圆内，而球外的 w w 都不符合要求，即便它是靠近 Ein(w) E i n ( w ) 梯度为零的 w w 。

引用一段比较好的叙述

假设在空间中的一点 w w ，根据梯度下降算法， w w 会朝着 −▽Ein − ▽ E i n 的方向移动（图中蓝色箭头指示的方向），在没有限定条件的情况下，w最终会取得最小值 wlin w l i n ，即“谷底”的位置。现在，加上限定条件，即w被限定在半径为C−−√的圆内，w距离原点的距离不能超过圆的半径，球如图中红色圆圈所示 wT⋅w=C w T ⋅ w = C 。那么，这种情况下， w w 不能到达 wlin w l i n 的位置，最大只能位于圆上，沿着圆的切线方向移动（图中绿色箭头指示的方向）。与绿色向量垂直的向量（图中红色箭头指示的方向）是圆切线的法向量，即 w w 的方向， w w 不能靠近红色箭头方向移动。那么随着迭代优化过程，只要 −▽Ein − ▽ E i n 与w点切线方向不垂直，那么根据向量知识， −▽Ein − ▽ E i n 一定在 w w 点切线方向上有不为零的分量，即 w w 点会继续移动。只有当 −▽Ein − ▽ E i n 与绿色切线垂直，即与红色法向量平行的时候， −▽Ein − ▽ E i n 在切线方向上没有不为零的分量了，也就表示这时 w w 达到了最优解的位置。

我们就得到了获得最优解需要满足的条件:

▽Ein(WREG)+2λN⋅WREG=0 ▽ E i n ( W R E G ) + 2 λ N ⋅ W R E G = 0
λ称为Lagrange multiplier，是用来解有条件的最佳化问题常用的数学工具
2N 2 N 是方便后面公式推导。那么我们的目标就变成了求解满足上面公式的 wREG w R E G 。

下面经过一系列的推倒，我们
会得出一个计算 WREG W R E G 的式子

WREG=(ZT⋅Z+λI)−1⋅ZT⋅y W R E G = ( Z T ⋅ Z + λ I ) − 1 ⋅ Z T ⋅ y

有了这个之后我们可以将 λ λ 带入实验：

图很明显了，事实上，这种正则化不仅可以用在多项式的假设函数中，还可以应用在logistic regression等其他假设函数中，都可以达到防止过拟合的效果。

好像和VC理论有一定的联系

机器学习基石这课和吴老师的最大不同就是VC维的认知，这是个重要的参数：
Augmented Error表达式如下：

Eaug(W)=Ein(W)+λN⋅WT⋅W E a u g ( W ) = E i n ( W ) + λ N ⋅ W T ⋅ W

而我们的VCbound的表达是：

Eout≤Ein+Ω(H) E o u t ≤ E i n + Ω ( H )

根据放缩性理论我们有直接结论（程序员使用机器学习的时候只需要个大概吧，之后会深入理解这一块）

最后归纳总结通用的正则化

选择这个 Ω(W) Ω ( W ) 有三种

1. target-dependent
2. plausible
3. friendly
   
   这个误差的测量一样也有三种一模一样的方式：
   
   在详细说一下 λ λ 的取值：

以上两种噪音的情况下，都是噪音越大，相应的 λ λ 也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即噪音越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是正则化。但是大多数情况下，噪音是不可知的，这种情况下如何选择 λ λ 。这里需要谢谢拉格朗日算子的出演！最后两节课就是将这些告诉我们的！

这节课的正则化学习告诉我们机器学习是需要人为调整的！甚至是加噪音！